nesumjerljivost?

Da neka dotad vrlo uspješna znanstvena metoda može doći do granice gdje postaje upitna – to su puno stoljeća prije Heisenberga, već na samom početku zapadnjačke znanosti, spoznali pitagorovci. Njima se posred matematike kao onog ponajviše ograničenog/racionalnog/simboličkog otvorio ponor beskonačnog/iracionalnog/realnog. Dodatna je sličnost s prošlim zapisom to što je i ovdje središnji odnos kontinuuma i odjelitih (diskontinuiranih) veličina. U grčkoj se matematici taj odnos pojavio kao problem svođenja geometrije (koja se bavi kontinuiranim veličinama) na aritmetiku (koja se bavi odjelitim brojevima).

Pitagorovci su na osnovi svog otkrića kako pravilni brojčani omjeri duljina žica kod glazbala daju uhu ugodne tonove vjerovali da su pronašli metodu za spoznaju svega: sve se sastoji od brojeva i njihovih pravilnih omjera. Pri tom su, kao i svi ostali Grci, brojem smatrali isključivo ”prirodni” broj, dakle, mnoštvo ”jedinica”. Stoga su, između ostaloga, pretpostavljali da se svaka dužina mora sastojati od konačnog broja nekih nedjeljivih jedinica, koje bi i same imale neku duljinu.

Za pitagorovce jedinice posjeduju veličine. (W. K. C. Guthrie 1962.)

U sklopu svog pothvata matematičke konstrukcije svemira pitagorovci su držali da je crta sastavljena od točaka koje se odlikuju kolikoćom kao nužnim atributom egzistentnosti. Moralo ih je, dakle, biti konačno mnogo, premda nije bilo utvrđeno koliko konačno mnogo. Usprkos toj neodređenosti, dvije različite crte mogle su se uspoređivati po broju točaka. (…) Još [je] Demokrit na prijelazu iz 5. u 4. stoljeće dijelio pitagorovska stajališta da su crta, površina i tijelo izgrađeni iz nedjeljivih sastavnih dijelova, svojevrsnih atoma u geometrijskom području. Dapače, ta su stajališta poslužila Demokritu za elementarno razmatranje o određivanju volumena stošca. Atomističko učenje zahtijevalo je i atomističku matematiku. (Ivica Martinović 2007.)

Dakle, dužina (i matematička i fizička) sastojala bi se od konačnog broja nekih elementarnih duljina, naime ”jedinica”, koje bi bile dužinski ”atomi”/”čestice”.

Pitagora je držao da se odnosi čistih geometrijskih formi mogu svesti na brojevne odnose, što znači da se geometrija može svesti na aritmetiku. Pitagorejskim temeljem čitave matematike ostaje dakle broj… Kamen temeljac pitagorejske redukcije bila je pretpostavka da su svake dvije dužine su-mjerljive, tj. da uvijek postoji njihova zajednička mjera koja ima ulogu jedinice mjerenja pri uspostavljanju njihova brojevnog odnosa. Na primjer:

No sami pitagorejci su dokazali da stranica i dijagonala kvadrata nemaju takve zajedničke mjere. Evo i dokaza te činjenice, koji je značajan koliko i sama činjenica nesumjerljivosti. Ako dužine a i b imaju zajedničku mjeru, npr. a = 12j i b = 5j na prethodnoj slici, onda uzastopno oduzimanje dužina, koje počinje s  a i b, završava u konačnom broju koraka. U našem slučaju:

12j – 5j = 7j,     7j – 5j = 2j,     5j – 2j = 3j,

3j – 2j = 1j,    2j – 1j = 1j,     1j – 1j = 0j.

Provedimo takvo uzastopno oduzimanje počevši od dijagonale AC i stranice AB zadanoga kvadrata.

Prvo oduzimanje, stranice AB od dijagonale AC, daje AC – AB = DC. Nadalje, trokut CDE je jednakokračan, pa je DC = DE. Trokuti AEB i AED su sukladni, pa je DE = BE. Slijedi da je DC = BE. Stoga drugo oduzimanje daje AB – DC = BC – BE = EC.

Sljedeće oduzimanje opet je oduzimanje stranice kvadrata od njegove dijagonale EC. Ono se u smanjenom mjerilu ponavlja na isti način te vodi na sljedeći još manji kvadrat, u kojem se opet ponavlja isti postupak, itd. Uzastopno oduzimanje dužina koje počinje dijagonalom i stranicom kvadrata nikad se ne završava jer generira beskonačni niz sve manjih kvadrata, u kojima se uvijek generira početna situacija. No kada bi dužine AB i AC imale zajedničku mjeru, postupak oduzimanja morao bi se završiti u konačnom broju koraka. Dakle, AB i AC nemaju zajedničku mjeru, tj. dijagonala i stranica kvadrata nisu sumjerljive.

Uočimo da je nesumjerljivost mogao dokazati samo teorijski um koji gleda savršene forme ili ideje. Dvije materijalne dužine možemo usporediti samo približno, tj. do neke mjere točnosti, pa svaka dužina kraća od te mjere točnosti praktički postaje zajedničkom mjerom tih dužina samom činjenicom da do nje ne dopire točnost praktičkog mjerenja. Nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale dokazuje se time što se teorijsko ”mjerenje” sve manjih kvadrata ponavlja stalno na isti način, pa se zahvaljujući tome nikad ne završava. Dakle, u dokazu nesumjerljivosti pojavljuje se beskonačni niz kvadrata koji sigurno prelazi granicu vidljivog, a i sama mogućnost njegove materijalizacije postaje krajnje upitnom. Potpuno je jasno da se dokaz bavi idejom kvadrata [a ne nekim materijalnim/fizički-postojećim kvadratom, op. d.].

Pitagorejska težnja aritmetizaciji geometrije ozbiljno je uzdrmana otkrićem nesumjerljivosti. (Zvonimir Šikić 1995.)

Otkriće nesumjerljivosti dijagonale kvadrata s njegovim stranicama … udara na ranije pitagorovsko gledište prema kojem su ”stvari brojevi”, odnosno da su geometrijski likovi, te stoga u konačnici i fizički svijet, utemeljeni na nizu cijelih brojeva. Nikakav omjer između cijelih brojeva ne može biti temelj za konstrukciju [jednakostraničnog] pravokutnog trokuta. (W. K. C. Guthrie 1962.)

Te se veličine nazivaju i ”iracionalnima” zato što ratio, između ostaloga, znači i omjer; duljina dijagonale kvadrata je √2 puta duža od duljine stranice kvadrata, a √2 ne možemo napisati kao omjer (ratio) dva prirodna broja. Za pitagorovce je to otkriće nesumjerljivoga/iracionalnoga bilo toliko potresno da je, prema predaji, čuvano u tajnosti, jer je prijetilo urušavanjem njihove koncepcije kosmosa kao sklada brojeva.

Hipas iz Metaponta … je odao tajnu ”sumjerljivosti nesumjerljivog”, to jest otkriće prve iracionalne veličine… Stoga je navodno bio isključen iz [pitagorovske] zajednice, a njegovi bivši drugovi podigli su mu grob kao da je umro. (Jean-Francois Mattei 1983.)

Platonova Akademija, nasljeđujući uvelike pitagorovce, upustila se u dublje istraživanje tako otvorenog ponora.

Prema tradiciji … natpis iznad vrata Platonove Akademije kaže: ”Neka ne uđe nitko tko ne poznaje geometriju”. Ne sumnjam da značenje ovog natpisa nije samo u isticanju važnosti matematičkih studija, nego da on znači: ”Aritmetika (tj. preciznije, pitagorovska teorija broja) nije dovoljna; morate znati geometriju!”. Pokušat ću skicirati razloge koji su me uvjerili da druga fraza sažima jedan od Platonovih najvažnijih doprinosa znanosti. …

Prema danas općeprihvaćenom uvjerenju, rano pitagorovsko bavljenje geometrijom koristilo je metodu dosta sličnu onoj koja se danas naziva ”aritmetizacija”. Geometrija je bila shvaćena kao dio teorije cijelih brojeva (ili ”prirodnih” brojeva, tj. brojeva sačinjenih od monada ili ”nedjeljivih jedinica”) i njihovih ”logoi”, tj. njihovih ”racionalnih” omjera. Npr. pitagorovski pravokutni trokuti bili su trokuti sa stranicama u takvim omjerima. (Primjeri su 3:4:5; ili 5:12:13.) … Otkriće iracionalnosti kvadratnog korijena iz dva … uništilo je pitagorovski program ”aritmetizacije” geometrije i s tim, izgleda, vitalnost samog pitagorovskog reda. Čini se da predaju po kojoj je to otkriće u početku čuvano u tajnosti podupire činjenica da Platon u početku iracionalno još uvijek naziva arreton, tj. tajnim neizrecivim misterijem (kasniji termin je ”nesumjerljivost”.)  …

Izgleda da je slom pitagorovskog programa, tj. aritmetičke metode geometrije, doveo do razvoja euklidovske aksiomatske metode koja je, s jedne strane bila planirana da spasi od propasti ono što se moglo spasiti (uključujući metodu racionalnog dokaza) i, s druge strane, da prihvati nesvodivost geometrije na aritmetiku. Pretpostavivši sve to, izgleda nam vrlo vjerojatno da je Platonova uloga u prelasku od starije pitagorovske metode ka Euklidovoj bila naročito važna – u stvari, da je Platon bio jedan od prvih koji je razvio specifično geometrijsku metodu težeći ka spašavanju onoga što se može spasiti od propasti pitagorizma… Euklidovi Elementi nisu učbenik geometrije nego, prije, posljednji pokušaj platonske škole da riješi ovu krizu rekonstrukcijom čitave matematike i kosmologije na geometrijskoj osnovi, radi sistematskog bavljenja problemom iracionalnosti, i da bi tako izvršila inverziju pitagorovskog programa aritmetizacije. Platon je prvi zamislio program koji je kasnije ostvario Euklid: on je izabrao geometriju kao novu osnovu i geometrijsku metodu proporcije… i postao osnivač moderne znanosti – znanosti Kopernika, Galileija, Keplera i Newtona.

Sve to sugerira da je upozorenje protiv onih neupućenih u geometriju … povezano s vjerovanjem da je geometrija od veće važnosti nego aritmetika. Zauzvrat, to objašnjava zašto se Platon … ”proporcionalnu jednakost” … smatrao aristokratskijom nego demokratsku aritmetičku ili numeričku jednakost. (Karl Popper 1945.)

Naravno, kod Platona ”demokratsko” ima negativan ton, a ”aristokratsko” pozitivan. On je numeričku jednakost ”jedinica” smatrao ”demokratskom” jer se raznolikost umjetno (jednom apriornom odlukom da sve mora biti onako kako propisuje teorija) svodi na jednakost, tako da se sve razlike svode na količinske razlike, na broj ”jedinica” (kao u demokraciji na broj glasova). Uvid da je takva ”racionalnost” nemoguća već u geometriji (a kamo li na složenijim, življim područjima) ipak ne znači nužno prepuštanje nemislivom kaosu. Jer postoje i manje očite proporcije koje uspostavljaju odnose među raznolikostima bez da ih nasilno izjednačavaju, i takve ”geometrijske” proporcije Platon smatra ”aristokratskima”.

Te proporcije su Grci nazvali logos-ima (”logoi”), i u njima je, zapravo, otkriveno ono što danas nazivamo iracionalnim brojevima (to su, npr. duljina dijagonale jediničnog kvadrata √2, ili opseg kruga jediničnog promjera π itd., koji se ne mogu napisati kao omjer dva prirodna broja). No, Grci su takve duljine odbijali smatrati brojevima.

U historičara i interpreta grčke matematike vlada opće suglasje o tome da je za nju presudan događaj bio otkriće iracionala, tj. linearne nesumjerljivosti. To čudesno otkriće smjesta je zaprijetilo rušenjem stare pitagorovske postavke da je sve broj, postavke koja, čini se, počiva na uvjerenju o gospodstvu i vladavini reda, forme i oblika u cjelini svega. Nesumjerljiva dužina, ona koja se numerički nikako ne da izraziti, biva nazvana arreton, dakle ono neizrecivo, neiskazivo, i alogon, u značenju nemislivog, iracionalnog.

Međutim, početno iznenađenje ubrzo dovodi do spoznaje da crtu čijoj se duljini ne može pridati numerička vrijednost treba mjeriti njezinim kvadratom. Pojam logos, koji je do tada bio primjenjivan jedino na brojeve, morao je sada s tim u skladu biti preformuliran tako da u sebe može uključiti i te nesumjerljive veličine. Posao konstruiranja i klasificiranja samih iracionala pomoću iznova protumačenog pojma logos izveli su Teetet i Eudoks, u čijem će promišljanju logos konačno u potpunosti steći novo značenje odnosa (ratio) dvaju brojeva, odnosno dužina…

Dakle, hoće li se tražiti grčku osnovu za moderni pojam broja, onda to nije ni ”broj” (arithmos) grčke aritmetike ni ”veličina” (megethos) grčke geometrije, nego upravo sam taj ”odnos” (logos), koji je načelno neutralan spram razlike aritmetike i geometrije i koji omogućava, štoviše, traži i zahtjeva njihovo stapanje i sjedinjenje.

No ovdje je grčka matematika, da tako kažemo, stala na pola puta. Grci nikad nisu učinili taj korak da tim logos-ima, dakle brojno-duljinskim odnosima, koji omogućuju neizravno ”razumijevanje” iracionala, pridaju samostalnu egzistenciju [kakvu se pridavalo prirodnim brojevima, op. d.].

S tim zajedno ide i pomno čuvana stroga razdvojenost aritmetike i geometrije. Aritmetika je područje čiste konačnosti, dok u geometriji pak na neki način jest i ono beskonačno. Ili, kako će to izraziti Proklo, komentirajući Euklida: ”U geometriji uopće nema onog najmanjeg”, nastavljajući: ”geometriji su svojstvene postavke o iracionalnom (to alogon), jer iracionalno ima svoje mjesto samo tamo gdje je moguća beskonačna djeljivost.”

U nastojanju da pod svaku cijenu očuvaju i osiguraju konačnost barem u aritmetici, Grci su dospjeli i do nama danas zacijelo više nego začudne postavke, naime da jedinica uopće nije broj. Euklidova definicija broja glasi: ”Broj je mnoštvo sastavljeno od jedinica”… Konsekvenca toga je da brojevi, ako su mnoštvo sastavljeno od jedinica, mogu biti u njih i razloženi. Ali sama jedinica kao jedinica ne može biti dalje razložena.  (Damir Barbarić 1985.)

Ostavši tako ”na pola puta”, čuvajući pitagorovski pojam broja, ali i nesvodivost geometrije na njega, Akademija se ipak ustezala ukinuti bitnu razliku između geometrije i aritmetike, čime bi doista zasnovala ”modernu znanost Galileija i Newtona” (kao što je to skoro dvije tisuće godina kasnije učinio Descartes), mada je, svakako, pripravila put za to.

No, možda to ostajanje ”na pola puta” nije tek neki manjak dovitljivosti ili intelektualne hrabrosti akademičara, nego počiva na nečem drugom? Možda ono slijedi iz nekog osobitog shvaćanja odnosa između konačnosti i beskonačnoga (peras i apeiron) kao ”prave mjere”? Takvu slutnju potiče neobična činjenica da ”tajna nesumjerljivosti” koju je pitagorovac Hipas otkrio neiniciranima nije nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, kao što bi se očekivalo budući da je to najjednostavniji primjer, nego je povezana s, također ”iracionalnim”, ”zlatnim rezom”.

Temeljno, za grčku matematiku tako karakteristično i kobno otkriće iracionalnoga … se može datirati u 5. stoljeće… Jer u Platonovu se dialogu Teetet, koji je posvećen uspomeni na rano preminulog matematičara iz Platonove škole dokazi za iracionalnost kvadratnih korijena od 3, 5, 7,…, 17 pripisuju Teodoru iz Kirene… Na tom je mjestu isključeno da bi se Teetetu odreklo neko matematičko postignuće koje mu zapravo pripada. Doista se, dakle, treba vratiti do Teodora, čije bi se djelovanje moglo datirati oko 430. godine. A on je pružio već čitav niz dokaza iracionalnosti, dakle ne nalazi se na početku otkrivanja ne-racionalnih odnosa, tako da se ono treba pripisati još ranijem dobu.

Sporno je na kojem se konkretnom primjeru prvi put primijetila i zatim dokazala uzajamna nemjerljivost dviju geometrijski ili drukčije definiranih veličina. Dok se prije kao samorazumljivo pretpostavljalo da se najprije spoznala inkomenzurabilnost [nesumjerljivost] stranice i dijagonale kvadrata, dakle iracionalnost √2, … [čini se da] se prvo primijetila nesumjerljivost dijagonale pravilnog peterokuta u odnosu na stranicu, i da ju je otkrio pitagorovac Hipas… Odnos između stranice peterokuta i njegove dijagonale je odnos ”stalnog dijeljenja” koji se kasnije nazivao ”zlatnim rezom”. Taj je odnos osebujan po tome što pri uzajamnom mjerenju dijelova dužina, pri ”uzastopnom oduzimanju”, proizlazi najjednostavniji mogući brojevni niz, naime 1, 1, 1,…

U slučaju pravilnog peterokuta ucrtavanjem dijagonala nastaje pentagram koji u sebi ponovno sadrži peterokut s pentagramom u sebi, tako da se lik u unutarnjosti beskonačno nastavlja. Sada se jedna strana peterokuta, recimo DE, može mjeriti dijagonalom AC koja joj je paralelna iz razloga simetrije. Četverokut ED’CD je paralelogram, dakle CD’=DE. Dakle, stranica DE ili CD’ jedanput je sadržana u dijagonali CA, a kao ostatak ostaje AD’. Mjeri li se AD’ na AE’ (koja je također jednaka stranici DE), ona je opet jedanput sadržana i kao ostatak imamo E’D’. No sada je E’D’ stranica unutarnjeg peterokuta A’B’C’D’E’, a njegova dijagonala C’A’ jednaka je D’A (jer je AD’A’C’ paralelogram). Prema tome ponavlja se isti odnos i postupak ”uzajamnog oduzimanja” beskrajno se nastavlja. Taj je zanimljiv rezultat morao izazvati pozornost ranih grčkih matematičara. (…)

Pri takvim se razmišljanjima uočava suprotnost broja (arithmos) i kontinuirane veličine (megethos). Ova druga je neograničeno djeljiva prepolavljanjem a broj to nije. (Oskar Becker 1959.)

Literatura:

  1. W. K. C. Guthrie, Povijest grčke filozofije (knjiga I.), Zagreb 2005., str. 195., preveli: Laura Blažetić, Juraj Bubalo, Branko Malić, izvornik: W. K. C. Guthrie, A History of Greek Philosophy (1962.)
  2. Ivica Martinović, Neprekidnina i beskonačnina od predsokratovaca do Newtona, predavanje 2007., link
  3. Zvonimir Šikić, Filozofija matematike, Zagreb 1995., str. 19.-20., link
  4. Guthrie, isto, str. 219.
  5. Jean-Francois Mattei, Pitagora i pitagorovci, Zagreb 2009., str. 31., preveo: Marko Gregorić, izvornik: Jean-Francois Mattei, Pythagore et les pythagoriciens (1983.)
  6. navod prema: Karl R. Poper, Otvoreno društvo i njegovi neprijatelji Tom I, Beograd 1993., str. 327.-329., 421., preveo: Branimir Gligorić, izvornik: Karl R. Popper, The Open Society and Its Enemies (1945.)
  7. Damir Barbarić, K budućem mišljenju, Zagreb 2005., str. 107.-108.
  8. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 74.-77., 81., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
Oglasi

2 misli o “nesumjerljivost?

  1. Ovaj post bi se mogao nazvati i Uvod u beskonačnost… 🙂 Nevjerojatnim mi se čine ti odnosi i stavovi u mišljenju koji se bez problema mogu prebacivati iz matematike u politiku (proporcionalna vs. demokratska odnosno brojčana jednakost). Kao da su unaprijed zadani civilizacijom i kasnije isprepleteni do u najsitnije pore društva. Kakva nam je matematika takva nam je i politika itd. Oswald Spengler je u Propasti Zapada pisao o tome…

    Sviđa mi se

  2. Drago mi je da ti se i ovaj zapis svidio. 🙂 Zaboravio sam to u Spenglera, davno sam čitao, ali pogledat ću svakako čim stignem.

    Naknadno sam se sjetio pogledati kod notorno jasnoga Zvonimira Šikića, što on kaže o nesumjerljivosti, pa sam svoj opis nesumjerljivosti stranice i dijagonale kvadrata zamijenio njegovim. Dodatni je dobitak njegovo objašnjenje postupka ”uzastopnog oduzimanja”, kao i idealnosti (ne-materijalnosti) tako nastalih matematičkih predmeta.

    Sviđa mi se

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s