Zenonov paradoks?

Spor između neprekinutosti (kontinuuma) i odjelitosti (diskontinuiranosti, čestičnosti) ranom grčkom mišljenju najegzaktnije se izrazio slavnim Zenonovim paradoksima, u kojima se unutar simboličkog matematičkog reda otvara ponor onog beskonačnog. Zenon je bio Parmenidov učenik, manje sklon božanski nadahnutom misaonom pjesništvu a više analitici – pa ipak, on nastavlja Parmenidov nauk o homogenoj, kontinuiranoj i mirujućoj jednosti onoga što jest.

Polazeći od svog osnovnog principa da se o onome i samo onome što postoji može misliti i smisleno govoriti, Parmenid je, kroz usta boginje koja ga je navodno tome podučila, dokazivao da ono što postoji mora, pored ostalog, biti homogeno i kontinuirano…

Homer je u Ilijadi, priloški, rekao kako je Zevs izlivao kišu neprekidno (synehes) tokom devet dana i noći koji se jedni na druge nadovezuju. Kako je sad Parmenid mogao da upotrebi istu reč pridevski, da bi naveo jedno od obeležja onoga što postoji, kad to što postoji po njemu nije mnoštveno (to je još jedna od njegovih karakteristika)? Verovatno je Parmenid imao u vidu to da između onoga što bi smrtnici smatrali delovima onoga što postoji (a što u stvari nisu delovi) ne bi moglo biti praznine (jer je praznina ono što ne postoji), ali je, ne želeći da ni protivčinjenički pominje delove, to iskazao tako što je za samo ono što postoji rekao da je synehes, što u stvari ne znači ništa drugo do da je u sebi neprekidno. Pošto je, po Parmenidu, ono što postoji ne samo jedinstveno, homogeno i neizdeljeno već je i nedeljivo, dobili smo shvatanje po kojem kontinuum uopšte nije ni u kojem smislu struktuiran!

Zenon je u svojim dokazima protiv mnoštva indirektnim putem dokazivao isto, ali su ti dokazi značajni po tome što su se izdeljenost ili deljivost onoga što je kontinuirano najpre dopuštali, da bi se ispitalo kakve to posledice za sobom povlači. (Miloš Arsenijević 2003.)

Zenon iz Eleje (oko 500. pr. Kr) bio je odani učenik Parmenidov, koji je držao da je stvarnost jedna neraščlanjena, nepromjenjiva, nepokretna cjelina lišena bilo kakvih dijelova. Gibanje, promjena i mnoštvenost puki su prividi. Čini se da je Parmenid bio predmetom stanovitog izrugivanja; Zenonovo je poslanje bilo pobijati one koji su se zabavljali na račun njegova učitelja. Da bi ostvario taj cilj, Zenon je predložio možda i do četrdeset paradoksa namijenjenih reductio ad absurdum prostora, vremena, gibanja i mnoštvenosti.

Zenonov paradoks nazvan dihotomija dolazi u dva oblika, napredujućem i nazadujućem. U napredujućem obliku Zenon tvrdi da Ahil (neovisno o kornjači iz njegovog najčuvenijeg paradoksa) nikad ne može dotrčati s jednog do drugog kraja trkališta. Da bi prevalio čitav tijek puta, morao bi najprije prijeći pola udaljenosti. Preostaje druga polovica udaljenosti. Da bi prevalio preostalu polovicu, mora prijeći pola od nje. Preostaje jedna četvrtina udaljenosti; sad mora prijeći pola od toga. Taj se argument ponavlja neograničeno puta. S obzirom da neki konačni segment puta uvijek preostaje za prijeći, Ahil nikad ne može dostići cilj. QED

Nazadujući oblik argumenta sastavljen je da bi pokazao, još začudnije, da Ahil ne može niti krenuti s početne točke. Kao i u napredujućem obliku, Zenon započinje tvrdnjom da Ahil mora najprije prijeći pola puta, da bi prešao cijeli put. No, prije nego prijeđe prvu polovicu, mora prijeći pola od toga (prvu četvrtinu). Prije nego to učini, mora prijeći prvu polovicu prve četvrtine. Argument se ponavlja neograničeno puta. Prije nego bi Ahil mogao prijeći bilo koju konačnu udaljenost već bi morao prevaliti beskonačno mnogo konačnih segmenata. QED

Mnogi su ljudi osjećali da se ovi poznati Zenonovi paradoksi gibanja mogu jednostavno odbaciti primjenom infinitezimalnog računa. Tvrdilo se, primjerice, da napredujući oblik paradoksa dihotomije iščezava kad shvatimo da jedan beskonačni niz pozitivnih brojeva 1/2 + 1/4 + 1/8 + … ima konačnu sumu. No, ta razmatranja ne odgovaraju na pitanje je li beskonačni niz zadataka moguće obaviti u nekom konačnom vremenu. (Wesley C. Salmon 1995.)

Dakle, ono gibajuće prije negoli prijeđe cijeli put (odnosno cijelu crtu) mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako neograničeno dalje (ep apeiron) … dakle, općenito odsječke puta 1/2n (n = 1, 2, 3,…). Valja pripomenuti kako je u ovom dokazu potpuno nebitno kako ono gibajuće, primjerice neki trkač, prelazi ove odsječke (polovice) puta koje mu valja prijeći. Od trkača bi se moglo tražiti ”da se istodobno s kretanjem prije izbroji polovica pri svakoj pojedinoj nastaloj polovici”, dakle, trkač bi mogao neprekidno legato trčati i usput brojati redom sve prijeđene polovice: [0, 1/2], [1/2, 3/4], …, [(2n – 1/2n], odnosno trčati neprekidno i brojati ”prva (polovica), druga, treća,…” To bi, međutim, vodilo do jednog sasvim standardnog contradictio in adiecto, jer ”kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen neograničen broj, što je po općem mnijenju nemoguće”. S druge strane, kada Aristotel govori o još jednoj inačici Dihotomije u smislu da nešto ne može ”pojedince taknuti ‘neograničenosti’ u ograničenomu vremenu”, ovo ‘taknuti’ valja shvatiti doslovno; ‘taknuti’ može značiti fizički kontakt trkača i postaja na njegovom putu, koje se podudaraju s točkama puta 1/2, 3/4, 7/8, …, kojih pak ima neograničeno mnogo… Ono što je bitno u svih ovih inačica Zenonove dihotomije jest pretpostavka dolaženja trkača na cilj u konačnome, ograničenome vremenu. (Boris Kožnjak 2003.)

Dakle, da bismo prešli bilo koju određenu duljinu (što je najsvakodnevnije iskustvo) moramo moći u konačnom vremenu izbrojati beskonačno prirodnih brojeva (što ne samo da nije dio iskustva, nego se čini i nemogućim). Kao da se posred najobičnije konačne dužine otvorio bezdan beskonačnoga (apeiron). Matematika, kao najstroži vid onog simboličkog, upada u besputice pri tako jednostavnom zahtjevu, i navodi nas na pitanje je li kontinuirani fizički prostor primjereno opisati matematičkim simbolima, ili, općenitije, na pitanje o primjerenosti simboličkog opisa onog Realnog.

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula. (Wesley C. Salmon 1995.)

Stvar bi drugačije stajala kada bi se kontinuum mogao sastaviti iz nečega što samo nije kontinuirano i što bi utoliko bilo nedeljivo. Ali, kaže Zenon, tako nešto ne bi imalo veličinu, te ne bi moglo ni da poveća nešto čemu bi se dodalo, ni da smanji nešto od čega bi se oduzelo. To pak ne znači ništa drugo do da tako nešto ne bi nešto ne bi moglo da igra ulogu sastavnog dela. Zenon ovde očigledno ima u vidu ono što se smatra matematičkom tačkom… U generalizovanom vidu, Zenonov nam zaključak, a koji Aristotel naziva Zenonovim aksiomom, kaže da se entiteti viših dimenzija ne sastoje (to jest, ne mogu sastojati) iz entiteta nižih dimenzija. Slično tome što se linija ne sastoji iz matematičkih tačaka niti vreme iz neprotežnih trenutaka, ni ravan se ne sastoji iz linija niti telo iz ravni… U svakom slučaju, Zenonovi argumenti ozbiljno dovode u pitanje pokušaj da se o kontinuumu bilo koje vrste … govori kao o nečem struktuiranom. (Miloš Arsenijević 2003.)

Problem raz-člambe kontinuuma – što su dijelovi nečega što je jedno? – već je na geometrijskoj razini doveo do problema. Kako nešto što se sastoji od bez-duljinske točke može imati duljinu? Dodavanjem bilo koliko bez-duljinskih točaka ne možemo povećati duljinu dužine. A ako točka ima koliko god malu duljinu, tad bi beskonačni broj točaka na dužini značio i beskonačnu duljinu svake dužine. Ukratko, dužina se ne može sastojati od točaka; cjelina nije sastavljena od dijelova, nego su ”dijelovi” izdvojeni iz cjeline.

Ipak, (možda za razliku od azijskih mislioca kod kojih beskonačno nema nikakav odnos s konačnim?) analitički duh Grka nije naprosto odustao od toga da u konačnom simbolizmu zahvati to beskonačno. Čini se da upravo ti pokušaji čine ključnu značajku zapadnjačke matematike.

Rani Grci su stvorili matematiku kao pravu, samostalnu znanost koja počiva posve u sebi… Odlučujući argument je upućivanje na ono beskonačno, koje se nikad ne pokazuje u iskustvu niti to može, dok se u matematici čini neophodnim. Historijski je vrlo zanimljivo da tek grčka matematika eksplicitno upotrebljava beskonačno, dok ga cijela predgrčka matematika Babilonjana i Egipćana ne poznaje. Već samo to u presudnom smislu razlikuje grčku od predgrčke znanosti… Predgrčka ”algebra” u bitnom je računanje; literarna forma babilonskih ”zadataka” gotovo je ista kao forma naših današnjih matematičkih učbenika; radi se o zbirkama zadataka… Ono beskonačno se ne pojavljuje, ili se pojavljuje u vrlo prikrivenom obliku; u svakom slučaju ono nikad ne postaje problemom.

Uzme li se za usporedbu još i indijska i istočnoazijska matematika, ukoliko se čini netaknuta grčkim utjecajem, proizlazi isto: nema dokaza ni izričite primjene beskonačnoga, pa ni u obliku potpune indukcije (zaključka od n na n + 1).

U takvoj je situaciji vrlo zanimljivo pratiti na koji se način ono beskonačno prvi put uvodi u ranoj grčkoj znanosti. Čini se da se ono najprije pojavilo u obliku neograničenih konvergirajućih procesa. Tekstualno je to prvi put posvjedočeno kod Zenona iz Eleje, Parmenidova učenika. Zenon nije matematičar, ali očito polazi od matematičkih situacija i razmišljanja koja su prije njega provodili drugi, vjerojatno pitagorovci… Nije nam namjera potpuno raspraviti ili čak riješiti te Zenonove paradokse za koje je Bertrand Russel jednom rekao da su ”immensly subtle and profound”, a što nije uspjelo ni svima onima koji su to pokušavali od Aristotelova doba. Ovdje nam je stalo upozoriti na to da je već prvo iskustvo beskonačnoga na koje nalazimo u matematici i filosofiji vodilo u paradokse. (Oskar Becker 1959.)

Svakako vrijedi pružiti pažnju Aristotelovom rješenju koje je određivalo matematičko mišljenje o beskonačnome sve do kraja 19. stoljeća. Naime, Aristotel razlikuje dva načina korištenja riječi ”biti” odnosno ”jest” – nešto jest ili kao ostvarenost (aktualno) ili kao mogućnost (potencijalno). Npr. neka bronca je potencijalno kip, i kipar kao djelatnik može udjeloviti/ostvariti/ozbiljiti tu mogućnost, čime će ona i aktualno (ostvareno, zbilja) biti kip. Tu razliku između aktualnog i potencijalnog Aristotel primjenjuje na pojam beskonačnoga, neograničenoga (apeiron). Vidi: Aristotelov odgovor Zenonu? (ulomak iz Boris Kožnjak, O problemu gibanja: Zenon, Aristotel, Heisenberg)

Aristotelovo je rješenje prihvatljivo jedino po cijenu prihvaćanja našeg sudioništva u zbivanju onog matematičkog. Početnu cjelovitost, ”bez-šavnost”, nerazdijeljenost, je doduše moguće u beskraj dijeliti simboliziranjem, ali to ne znači da se ta cjelina oduvijek zbilja ”sastojala” od tako nastalih dijelova.

Moguće je, na primjer, neograničeno dijeliti neku dužinu ako se nastavi s dihotomijom, pri čemu izgleda da je ona kao cjelina od početka dana. Doduše, po Aristotelovom shvaćanju dužina se ne sastoji od točaka ili bilo kakvih nedjeljivih sastavnih dijelova (linearnih atoma), nego točke unutar dužine nastaju tek dijeljenjem, tj. prije dijeljenja su samo potencijalne i tek njime dolaze do aktualnosti. To se prema smislu – iako Aristotel o tome ne govori – može poopćiti tako da se ne uzimaju u obzir samo ”racionalne” točke koje nastaju dijeljenjem dužine na jednake dijelove, nego i one koje proizlaze iz neke točno definirane geometrijske konstrukcije, dakle, eventualno ”iracionalne” točke… Za principijelno shvaćanje ”kontinuiteta” vrlo je važno zapamtiti tu Aristotelovu koncepciju: da se dužina ne sastoji od točaka, već da su beskonačno mnoge točke ”u” njoj samo prema mogućnosti, u tom smislu da se mogu proizvesti dijeljenjem ili drugim matematičkim operacijama konstruktivnog tipa. (Oskar Becker 1959.)

Literatura:

  1. Miloš Arsenijević, Vreme i vremena, Beograd 2003., str. 21.
  2. Wesley C. Salmon, Zeno, u A Companion to Metaphysics, uredili J. Kim i E. Sosa, Oxford 1995., str. 518.-519., preveo: ja
  3. Boris Kožnjak, O problemu gibanja: Zenon, Aristotel, Heisenberg, u Aristotel i aristotelizam, uredio D. Barbarić, Zagreb 2003., 96.-97.
  4. Salmon, isto., str. 519.
  5. Arsenijević, isto, str 22.
  6. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 67.-70., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
  7. Kožnjak, isto, 104.-106.
  8. Becker, isto, str. 80.-81.
Oglasi

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s