kretanje i definicija brzine?

Zenon je svoje paradokse zamislio kao dokaze protiv mogućnosti (prostornog) gibanja, i uopće kretanja (promjene, postajanja, bivanja). Jesu li u tom smislu ti paradoksi davno nadiđeni? Uspijeva li nam u potpunosti statičnim simbolima obuhvatiti kretanje?

Pretpostavimo da želimo na zastoru reproducirati živi prizor, mimohod pukovnije, primjerice… Kako reproducirati gipkost i raznovrsnost života? … Napravimo trenutačne snimke pukovnije koja prolazi, te projiciramo te trenutačne snimke na zaslon, tako da se vrlo brzo smjenjuju jedna za drugom. Tako radi kinematograf. Fotografijama od kojih svaka predstavlja pukovniju u nepomičnu položaju rekonstruira on pokretnost pukovnije koja prolazi… Takva je vještina iza kinematografa. A takva je i vještina iza naše svijesti. Umjesto da se vežemo na unutrašnje postajanje stvari, smještamo se izvan njih kako bismo njihovo postajanje [kretanje] iznova umjetno sastavili… Opažanje, razumijevanje, jezik općenito tako postupaju. Ako se radi o tome da bi se mislilo postajanje [kretanje], da bi ga se izrazilo, ili čak opazilo, ne činimo ništa drugo nego pokrećemo neku vrstu unutrašnjeg kinematografa. Saželi bismo dakle sve što smo prethodno kazali riječima: mehanizam naše uobičajene spoznaje kinematografske je naravi…

Na kontinuitetu nekog postajanja [kretanja] napravio sam niz snimaka koje sam ponovno međusobno povezao… Međutim, razumije se da ne mogu ostati pri tome… Sav ću se, dakle, usredotočiti na prijelaz i tražiti što se zbiva između sviju trenutačnih snimaka. Međutim, budući da primjenjujem istu metodu, doći ću do istog rezultata; treći će se snimak naprosto ugurati između druga dva. Beskonačno ću počinjati iznova, beskonačno ću supostavljati snimke uz snimke, a da ne polučim nešto drugo. Primjena kinematografske metode ovdje … ne pomiče ni za korak, jer vazda ostaje jednako daleko od kraja postupka… Svaki pokušaj da iznova sastavimo promjenu od stanja povlači za sobom tu besmislenu postavku da je kretanje sačinjeno od nepokretnosti.

A upravo toga filozofija postaje svjesna čim otvori oči. Dokazi Zenona Elejca … ne kazuju ništa drugo.

Razmotrimo li sulicu koja leti – u svakom [pojedinom] trenutku je nepomična, jer ne bi imala vremena pomaknuti se, to jest zauzeti barem dva uzastopna položaja, bez da joj dopustimo barem dva trenutka. U nekom datom trenutku nalazi se, dakle, u mirovanju u nekoj datoj točki. Nepokretna u svakoj točki svoje putanje, nepokretna je i tijekom cijelog vremena dok se kreće.

Točno, ako pretpostavimo da bi se sulica … koja pripada kretanju, ikada mogla podudarati s nekim položajem, koji pripada nepokretnosti. (Henri Bergson)

Zenonovim pitanjima Bergson ne želi pokazati da uopće nema kretanja, nego da mirujući misaoni simboli načelno ne mogu obuhvatiti živost kretanja koju neposredno osjetilno iskušavamo. Stoga primjenjuje na kretanje Aristotelovu misao da je točka rub dužine, pa beskonačno mnogo točaka ne postoji već zbiljski na dužini (osim na njenim rubovima), nego su tek moguće, nešto što potencijalno možemo načiniti na dužini. Tako i za Bergsona nepokretne ”snimke” kretanja nisu zbiljski postojeći zapisi kontinuiranoga kretanja, nego predstavljaju tek moguće prekide kretanja.

Ali sulica nije nikada ni u jednoj točki svoga puta. Smijemo u krajnjoj liniji reći da bi mogla u njoj biti u tom smislu da njome prolazi pa bi se slobodno mogla tu i zaustaviti. Uistinu, ako bi se tu zaustavila tu bi i ostala, a onda u toj točki više ne bismo imali posla s kretanjem. Istina je, pak, ako sulica polazi iz točke A i pada u točku B, njeno kretanje AB je jednostavno i neraščlanjivo, utoliko ukoliko kretanjem jest… Sulica koja ide iz A u B odjednom razvije, premda na određenu dužinu trajanja, svoje nedjeljivo kretanje… To je jedan i jedinstven skok. Utvrdite neku točku C na prijeđenom intervalu, i kažete da je u određenom trenutku sulica bila u C. Da je u njoj bila, onda bi se tu i zaustavila, i vi više ne biste imali put iz A u B, već dva puta, jedan iz A u C, drugi iz C u B, s jednim intervalom mirovanja. Neko jedinstveno kretanje je po hipotezi čitavo kretanje između dvaju zastajanja: ako postoje međuzastajanja, onda to više nije jedinstveno kretanje. U osnovi, iluzija proizlazi iz toga što je kretanje, jednom kad je dovršeno, ostavilo duž svog puta nepokretnu putanju na kojoj možemo pobrojati onoliko nepokretnosti koliko nas je volja… Ne uviđamo da se putanja, premda joj je za to potrebno neko vrijeme, stvara odjednom, te da ako bismo mogli, jednom kada je stvorena, putanju dijeliti po volji, ne bismo mogli dijeliti njeno stvaranje koje je čin u tijeku, a ne kakva stvar. Pretpostaviti da pokretno jest u nekoj točki puta znači rezom škara načinjenim u toj točki presjeći put na dva i jedinstvenu putanju koju smo sprva razmatrali zamijeniti dvjema putanjama. Znači to razlikovati dva uzastopna čina tamo gdje je po hipotezi samo jedan. Znači naposljetku … a priori dopustiti tu besmislicu da se kretanje podudara s nepokretnim.

Nećemo se ovdje podrobnije upuštati u tri ostala Zenonova dokaza… Ograničimo se samo na to da podsjetimo kako se sastoje u nanošenju kretanja duž prijeđene linije i u pretpostavi da je sve što je istinito za prijeđenu liniju istinito i za kretanje. Primjerice, liniju se može podijeliti na onoliko dijelova koliko se želi, veličine koje se želi, a ipak je to još uvijek ista linija. Otuda se zaključuje kako se ima pravo na postavku da se kretanje može proizvoljno raščlaniti, a da je to ipak još isto kretanje. Time se dobiva niz besmislica, koje sve iskazuju istu temeljnu besmislicu. Ali mogućnost prenošenja kretanja na prijeđenu liniju postoji samo za promatrača koji izdižući se izvan kretanja i razmatrajući u svakom trenutku mogućnost zastajanja, tvrdi da iznova sastavlja zbiljsko kretanje s mogućim nepokretnostima. A iščezava čim se u misli preuzme kontinuitet zbiljskog kretanja, kontinuitet kojega je svatko od nas svjestan kada diže ruku ili načini korak. Tada se sasvim jasno osjeća da je prijeđena linija između dvaju zastajanja opisana jednim jedinim nedjeljivim potezom, te će se zalud pokušavati na kretanju koje je zacrtava izvršiti podjele koje odgovaraju proizvoljno odabranim podjelama linije koja je već zacrtana. (Henri Bergson)

Ako bi se javila sumnja da ovaj, doduše svojedobno vrlo čitani filosof, možda slabije razumije fiziku, evo jednoga nama suvremenog fizičara:

Osvrnem li se unatrag vidim da sam već kao dijete bio opčinjen zagonetkom, tajnom doista, o naravi gibanja. Čini se da kad god mislimo o nečemu, to shvaćamo kao nepokretno, ili kao neki niz nepokretnih slika. No u samom zbiljskom iskustvu gibanja osjećamo nerazlomljeno, nepodijeljeno zbivanje tijeka, spram kojeg se niz nepokretnih misaonih slika odnosi poput niza ”zamrznutih” fotografija vozila u odnosu na zbilju njegova ubrzavanja. Dakako, to isto pitanje je u biti filozofski postavljeno već prije više od dvije tisuće godina u Zenonovim paradoksima, no ne bi se moglo reći da je dosad zadovoljavajuće razriješeno. (David Bohm)

I ne samo u djetinjstvu – pri kraju njegovog glavnog djela se pita o smislenosti pojma (trenutne) brzine, pritom opet spomenuvši Zenonove paradokse o gibanju. Što bi jednog vrhunskog fizičara uopće moglo zbunjivati u pojmu brzine, toj fizikalnoj formuli koju svi prvu naučimo još u osnovnoj školi?

Razmotrimo kako se uobičajeno razmišlja o gibanju, naime pomoću niza točaka duž nekog pravca. Pretpostavimo da je u nekom trenutku t₁ čestica na položaju x₁, a u kasnijem trenutku t₂ na nekom drugom položaju x₂. Tada kažemo da se čestica giba i da joj je brzinaDakako, taj način mišljenja ni na koji način ne odražava niti prenosi neposredni osjećaj gibanja što ga možemo imati u danom trenutku, na primjer, pri slijedu glazbenih nota što nam odjekuju u svijesti (ili pri vizualnom opažanju brzog gibanja auta). Prije je to samo apstraktno označavanje gibanja, koje se prema zbiljnosti gibanja odnosi slično kao glazbeni notni zapis prema zbiljskom doživljaju same glazbe.

Uzmemo li, kao što se obično čini, to apstraktno označavanje za vjernu predstavu zbiljnosti gibanja, zapetljat ćemo se u niz zbunjujućih i u osnovi nerješivih problema. Svi se oni bave predodžbom kojom predstavljamo vrijeme, kao da bi ono bilo niz točaka duž pravca koje su nekako sve zajedno prisutne, bilo našem pojmovnom pogledu bilo možda Božjem. No, kad je u našem zbiljskom iskustvu zadani trenutak, recimo t_2, prisutan i zbiljski, prijašnji trenutak, primjerice t₁, jest prošlost. To će reći, prošao je, ne postoji, ne vraća se nikad. Pa ako kažemo da je brzina u nekom određenom sad (u t₂) jednaka (x₂ – x₁)/(t₂ – t₁) tad pokušavamo povezati ono što jest (naime x₂ i t₂) s onim što nije (naime x₁ i t₁). Dakako, to možemo činiti apstraktno i simbolički (što je doista i uobičajeno postupanje znanosti i matematike), no, tim apstraktnim oznakama nije obuhvaćena daljnja činjenica da je brzina sad djelatna sad (npr. ona određuje kako će se čestica od sad ponašati, po sebi i u odnosu na druge čestice). Kako razumjeti sadašnje djelovanje sad nepostojećeg položaja (x₁), koji je zauvijek prošao?

Obično se misli da je taj problem riješen diferencijalnim računom. Tu se pušta da vremenski interval, ∆t = t₂ – t₁, postane malen do iščezavanja, zajedno s ∆x = x₂ – x₁. Brzina sad je određena kao granična vrijednost omjera ∆x/∆t, pri čemu ∆t teži nuli. To onda podrazumijeva da gore opisani problem ne izniče, jer su x₂ i x₁ uzeti u zapravo istom trenutku. Tako mogu biti zajedno prisutni i povezani nekim djelovanjem koje ovisi i o jednom i o drugom.

Malo refleksije ipak pokazuje da je taj postupak onoliko apstraktan i simbolički koliko je bio i početni u kome se uzimao konačan vremenski interval. Dakle, nema neposrednog iskustva s vremenskim intervalom čija je duljina nula, niti je pomoću misaone refleksije vidljivo što bi to moglo značiti. (David Bohm)

Bohm, dakle, vjeruje da se taj problem u klasičnoj fizici uvelike preskočio, i to skokom s beskrajno malog intervala na nula.

U klasičnoj fizici [se] nekome (neprekidnome) gibanju koje je diferencijabilno, pojedinoj vremenskoj točki može pripisati neka trenutna brzina definirana kao (rabeći Leibnizovu notaciju) v = lim _{Δt →0} (Δx/Δt) = dx/dt, a grafički predstavljena nagibom tangente u datoj točki krivulje x = f (t) koja predstavlja (neprekidnu) putanju točke. Međutim, koliko god uvjerljivo izgledalo da točka ima brzinu v(t₀) u trenutku t₀, valja naglasiti kako se ta brzina ni na koji način ne može mjeriti; ono što je mjerljivo to je uvijek samo prosječna brzina Δx/Δt za neki konačni interval Δt i konačnu udaljenost Δx, te smo stoga prisiljeni matematički definirati trenutnu brzinu kao veličinu kojoj teži prosječna brzina kada Δt →0 (a također i Δx →0). Ovaj pak vremenski interval može biti sve manji i manji, ali ga nužno mora biti sve dok ima i gibanja… Želimo li definirati trenutnu brzinu u nekoj točki kao koeficijent pravca tangente u toj točki, tada diferencije Δx i Δt ne bi smjele jednostavno postati nula, jer bi tada imali neodređeni omjer 0/0; no, također, ukoliko Δx i Δt ostaju konačne veličine, ma kako male bile, tada umjesto koeficijenta pravca tangente imamo koeficijent pravca sekante Δx/Δt, čije je značenje neka srednja brzina kojom se točka gibala u intervalu Δt… Pretpostavlja se, dakle, da je prirast Δt konačan (ma kako malen bio) i istodobno jednak nuli… Stoga Berkeley iščezavajuće priraste koji ”niti su konačne veličine, niti veličine beskonačno male, no niti pak ništa” naziva ”duhovima minulih veličina”. (Boris Kožnjak)

Čini se da ovi davni problemi dijelom rasvjetljuju i onaj dramatični događaj u fizici 20. stoljeća kojega označavaju Heisenbergove relacije neodređenosti.

Ako je (čvrsto) telo prešlo put AB ono … se na putu moglo zaustaviti neodređeno mnogo puta, ali se ipak de facto zaustavilo konačno mnogo puta. Isto tako je broj položaja u kojima je ono moglo biti registrovano neodređen (i neograničen), ali je de facto registrovano konačan broj puta. Ova okolnost … čini njegov položaj tokom kretanja suštinski neodređenim. Ova neodređenost odnosi se, dakle, kako na broj položaja u kojima je telo moglo biti registrovano, tako i na neodređenost položaja između de facto registrovanih položaja. Ako smo u kretanju tela registrovali pet stotina međupoložaja dobili smo petstojedan interval u kojem je položaj neodređen. Neodređenost je relativisana do na neki interval; interval može biti sve manji, ali ga nužno mora biti dok ima kretanja…

            

Niz tačaka buduće krive x(t) predstavljaju tačke prostorne putanje tela u kojima su obostrano jednoznačno korespondirani različiti trenuci i različiti položaji. Krivom koja se potom dobije interpolacijom predstavljeni su svi mogući trenutni položaji tela… Heisenberg je u tekstu iz 1927. godine u kojem je prvi put obznanio relacije neodređenosti … upravo pošao od upoređivanja prethodne dve slike, da bi doveo u pitanje jednoznačnost pojma trenutne brzine. Čak i ako se telo između dva trenutka kreće ravnomernom brzinom i ako se brzina menja samo u tačkama označenim na prvoj slici, to jest odjednom, ”svakoj tački pripadaju dve različite brzine”, jer se svaka točka može posmatrati i kao poslednja točka prethodnog i kao prva točka narednog kretanja… Ako je položaj tela u kretanju suštinski neodređen utoliko što, kao što smo videli, telo koje se kreće strogo uzev ima [jednoznačnu] brzinu kad nije u određenom položaju dok je u određenom položaju nema… onda razlog za nepreciznost ovde [naime, za neodređenost prema Heisenbergovim relacijama] nije empirijski već apriorni, iako je granica (ne)preciznosti određena empirijski. (Miloš Arsenijević)

Neki autori, naime, smatraju kako Heisenbergova relacija neodređenosti (za položaj i impuls) ima mnogo toga zajedničkoga sa Zenonovim dokazima protiv mogućnosti (neprekidnoga) gibanja, posebno njegovom Strijelom. Tako će još 1937. godine Louis de Broglie naglašavati kako nemogućnost usuglašavanja preciznog prostorno-vremenskog lociranja s određenim dinamičkim stanjem gibajućeg tijela, izražena u relacijama neodređenosti, ima izvjesne sličnosti sa Zenonovim argumentom Strijele. Tako, ”bez želje da proglasim Zenona prethodnikom Heisenberga i ne zaboravljajući ulogu koju u tom problemu igra konačna vrijednost Planckove konstante”, de Broglie smatra da ”ipak možemo reći da nemogućnost, koju otkrivaju suvremene teorije, pripisivanja gibajućem tijelu točne prostorno-vremenske pozicije i istodobno potpuno određenog dinamičkoga stanja, čini se uma nešto zajedničko s filozofijskom poteškoćom koja je dugo već znana.” (Boris Kožnjak)

Kvantna je fizika morala odustati od zamisli kontinuiranog kretanja (nenarušene od Aristotela do Einsteina), i uvesti teško razumljive “kvantne skokove”. Za neko takvo poimanje u filosofiji se možda možemo obratiti Aristotelovom prethodniku, i njegovom tajanstvenom ”trenutku” koji nastupa iznenada, odjedanput (to eksaifnes).

U okviru Platonova ispitivanja kako protumačiti kretanje, odnosno kako posredovati između kretanja i mirovanja … je novost da [opreku] nije ukinuo tako što bi u tim napetostima jedan element suprotstavio drugome, nego ih je održao uvođenjem skokovita prijelaza koji se nužno mora zbiti izvan vremena a da ujedno omogućuje obrat prema obadvjema stranama napetosti. Taj skok koji se zbiva izvan vremenskog horizonta Platon je nazvao »trenutak«. Njemu pripada posrednička uloga, on je način preokreta i jedan model onoga »između« Platonova dijalektičkog vježbanja. Sažeto bi se model skoka dao izreći: ni kretanje, ni mirovanje, dakle trenutak. (Ivica Martinović)

Literatura:

1. Henri Bergson, Stvaralačka evolucija, Zaprešić 1999., str. 116.-117., preveo: Tomislav Medak, izvornik: Henri Bergson, L’Evolution créatrice (1907.)
2. David Bohm, Wholeness and Implicate Order, London 1980., str. ix, 201.-202., preveo: ja
3. Boris Kožnjak, O problemu gibanja: Zenon, Aristotel, Heisenberg, u Aristotel i aristotelizam, uredio D. Barbarić, Zagreb 2003., 119.-121.
4. Miloš Arsenijević, Prostor vreme Zenon, Beograd/Zagreb 1986., str. 333.-334.,336.,340.
5. Boris Kožnjak, isto, str. 113.-114
6. Ivica Martinović, Neprekidnina i beskonačnina od predsokratovaca do Newtona, predavanje 2007., link