beskonačno?

Za Grke su brojevi prije svega cijeli brojevi, a onda i omjer (ratio, logos) dva takva broja, dakle “racionalni brojevi”. To što danas nazivamo “iracionalnim brojevima” oni nisu smatrali brojevima, mada su znali kako konstruirati nesumjerljive duljine, poput npr. dužine duge √2. Omjere takvih duljina – npr. omjer opsega i promjera kruga, naime π – također su nazivali logos-ima, ali ih nisu smatrali brojevima. Čini se da je razlog za to bila svijest kako bi definicija takvih brojeva zahtijevala prihvaćanje postojanja aktualne beskonačnosti. Dok je metafizici Novoga vijeka uobičajena predočba da je ono božansko beskonačno, za pitagorovce (pa i Platona) je onome dobrome (pa onda i božanskome) bila svojstvena granica, odmjerenost, a potpuna neograničenost i bezmjernost bila je svojstvena onome što je izopačeno, ne-božansko. Vjerojatno otud kod Grka oklijevanje da se napravi korak ka aktualno beskonačnom, pa im beskonačno uvijek ostaje tek potencijalno (vidi ovdje).

Potreba za kvadratnim korijenom iz 2 natjerala je Grke, uvelike protiv njihove volje u to doba, da napuste okvire cijelih i racionalnih brojeva – jedinih vrsta brojeva koje su bili spremni prihvatiti… Mi danas opravdano ne brinemo ako se neka geometrijska veličina ne može mjeriti samo pomoću racionalnih brojeva. To je stoga što nam je sasvim uobičajen pojam ”realnog broja”. Mada naši džepni kalkulatori iskazuju brojeve pomoću samo konačnog broja znamenki, lako prihvaćamo da je to približnost na koju nas prisiljava činjenica da je kalkulator konačan predmet. Spremno dopuštamo da idealni matematički broj može zahtijevati da se decimalni niz nastavi neograničeno. To, naravno, vrijedi i za decimalni oblik većine razlomaka, poput

1/3=0.333333333…,

29/12=2.416666666…,

9/7=1.285714285714285…,

237/148=1.601351351351… .

Za razlomak je decimalni niz na kraju uvijek periodičan, što će reći da se nakon određene točke niz znamenaka sastoji od nekog konačnog niza koji se neograničeno ponavlja. U gornjim primjerima ti ponavljajući nizovi su, redom, 3, 6, 285714, i 135.

Decimalni zapis nije bio dostupan drevnim Grcima, ali su oni imali vlastite načine bavljenja iracionalnim brojevima. Zapravo su prihvatili jedan sustav predstavljanja brojeva pomoću onoga što se danas naziva verižnim razlomcima… Svaki se racionalni broj veći od 1 može zapisati [u tom obliku] kao … npr.

[ili 52/9 = 5 +(1 +(3 +(2)-1)-1)-1], a za prikazati neki pozitivni racionalni broj manji od 1 samo trebamo dopustiti da prvi broj u izrazu bude nula. Da bismo prikazali neki realni broj koji nije racionalan, samo dopustimo da verižni razlomak ide u beskraj, kao na primjer

√2 = 1 +(2 +(2 +(2 +(2 +…)-1)-1)-1)-1,

π = 3 +(7 +(15 +(1 +(292 +(1 +(1 +(1 +(2 + …)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1. (…)

Koliko su o tome znali drevni Grci? Čini se vjerojatnim da su znali dosta toga… Platonov suvremenik Teetet je, čini se, ustanovio većinu toga. Izgleda kako čak postoje neki dokazi o tome  otkriveni u Platonovoj dijalektici… Mada se smatra da potpuno zadovoljavajuća definicija takozvanih ”realnih brojeva” nije otkrivena do 19. stoljeća (u radovima Dedekinda, Cantora i drugih), veliki grčki matematičar i astronom, Eudoks, koji je bio jedan od Platonovih učenika, došao je do bitnih zamisli već u 4. stoljeću prije Krista. (Roger Penrose 2004.)

Prije nego preskočimo iz Platonove Akademije na početak nama suvremene matematike, podsjetimo se kako je na početku Novog vijeka ”riješeno” svođenje geometrijskih veličina na brojeve, a što su Grci nakon otkrića nesumjerljivosti smatrali nemogućim.

Metodu kojom se geometrija svodi na algebru, a koja je čitatelju dobro poznata pod imenom analitičke geometrije, uveo je Descartes. Njezin je temelj pridruženje broja zadanih jedinica svakoj točki koordinatne osi. Dijeljenjem i umnažanjem jedinice mjerenja možemo specificirati beskonačno mnogo točaka na koordinatnoj osi, ali ipak ne i sve njezine točke. Naime, grčko otkriće nesumjerljivosti dijagonale i stranice kvadrata pokazuje da tim postupkom nikad nećemo specificirati točku koja se prema jedinici odnosi kao dijagonala prema stranici. To je ona točka koju danas označavamo ”brojem” √2. Taj ”broj” nije razlomak, dakle racionalni (razumljivi) broj. Cantor je sredinom prošlog [naime, XIX.] stoljeća dokazao da takvih iracionalnih točaka na koordinatnoj osi ima čak više nego racionalnih (iako i jednih i drugih ima beskonačno mnogo).

Kao što znamo, Grci su, respektirajući ovo pitagorovsko otkriće, odustali od broja kao temelja čitave matematike (posebno geometrije). Novovjeki matematičari ne odustaju od Descartesove analitičke geometrije bez obzira na slabost njenih temelja. Oni osim racionalnih pretpostavljaju i iracionalne brojeve, operirajući s njima na isti način kao i s racionalnim brojevima, i razumijevajući ih pomoću geometrijske intuicije koja ih veže za točke koordinatne osi. Da ih je moguće vrlo djelotvorno upotrebljavati na taj način uvjerio se svaki gimnazijalac koji se njima tako i koristi. To je pitanje odsudno postavljeno i na njega je matematički odgovoreno tek u 19. stoljeću. Dedekind je iracionalni broj (npr. √2) definirao kao rez u području racionalnih brojeva, koji se sastoji od beskonačne klase racionalnih brojeva manjih od tog broja i beskonačne klase racionalnih brojeva većih od njega. … Tako je dobro zasnovan pojam broja na kojem se temelji geometrija, a čitav taj postupak poznat je pod imenom aritmetizacije kontinuuma.

Iracionalni brojevi definirani su dakle kao beskonačne klase racionalnih brojeva. Racionalni brojevi mogu očito se mogu definirati kao parovi prirodnih brojeva. Jedan član para određuje na koliko se dijelova dijeli jedinica, a drugi koliko ima takvih dijelova. … U samom temelju ostaju prirodni brojevi 1, 2, 3, 4,… Za neke će ipak ostati upitno može li se kao dobra definicija iracionalnog broja prihvatiti definicija koja se poziva na beskonačne klase racionalnih brojeva. (Zvonimir Šikić 1995.)

Upravo odgovor na tu upitnost razlikuje Platonova učenika Eudoksa od Dedekinda  stoljećima kasnije. Za razliku od Grka, matematičari 19. stoljeća bili su spremni u jednom trenutku staviti tri točke te prihvatiti postojanje aktualne beskonačnosti.

Dedekind je … definirao realne brojeve pomoću beskonačnih skupova. Njegov je pristup bio da naznači neki realni broj kao rez [L,D] racionalnih brojeva. Zamisao je da je svaki racionalni broj ili u L ili u D i da je svaki član L manji od svakog člana D. Primjerice drugi korijen iz dva bi bio predstavljen rezom [{a/b: a2/b2 < 2}, {a/b: a2/b2 > 2}].

Ključna je stvar kod Dedekindove definicije da je realni broj beskonačni skup. Preciznije, Dedekindov realni broj je par [L,D] beskonačnih skupova.

Zanimljiva činjenica iz povijesti matematike da je Dedekindova definicija preuzeta skoro nepromijenjeno iz Eudoksove teorije omjera dane u Euklidovim Elementima, Knjiga V. Problem kojim se bavio Eudoks je kako možemo uspoređivati omjere koji nisu omjeri neka dva prirodna broja [npr. omjer opsega i promjera kruga]. Njegovo je rješenje, u biti, smatrati iracionalni omjer X:Y kao rez oblika [{m/n | mY > nX}, {m/n | mY < nX}]. Može se vidjeti da to ima smisla ako je m/n< X/Y kad je mY < nX, i na isti način za >.

Razlika između Eudoksa i Dedekinda je to da je Eudoks mislio o omjeru dviju veličina kao temeljnoj stvari, s tim da se opis preko beskonačnog reda pojavljuje samo u praktičnom i potencijalno beskonačnom smislu (jer nam, u praksi, nikad ne trebaju svi članovi svake stane reza). Dok netko ne konstruira dvije određene veličine koje bismo uspoređivali, ekvivalentni rez nema smisla… Dedekind je, s druge strane, prihvatio aktualno beskonačne skupove reza kao temeljne. Nebitno je da li netko ima ili nema određeni trik za konstrukciju duljine koja spušta točku u procjep reza… Realni su brojevi već tu, neovisno o tome mogu li biti na konačan način imenovani ili konstruirani… (Rudy Rucker 1982.)

Nama odraslima s kalkulatorima bliža je definicija realnog broja koju je negdje istodobno s Dedekindom dao Cantor.

Cantor je u osnovi definirao realni broj naprosto kao beskonačni niz znamenki. Originalni je element njegovoga pristupa da suma beskonačnog reda nije ništa drugo ili izvanjsko samom redu. Tako suma reda 2/10+5/1000+7/10000+9/100000+… nije ništa drugo do sam taj red, također poznat kao 0.20579… Cantor je odustao od shvaćanja da su realni brojevi prvenstveno konačno dugi. Postupao je s njima prije kao s arbitrarnim nizovima oblika n.r1r2r3r4

Kad se jednom shvatilo da se realni brojevi mogu prikazati preko beskonačnih redova, brana je pukla. Deset godina nakon Cantorove smrti već je bilo opće mjesto da se svaki matematički objekt može predstaviti nekim skupom. Ako ste ikad uzeli u ruke neki matematički tekst iz bilo kojeg polja, bila to analiza, algebra, ili topologija, opazili ste da knjiga započinje kratkim poglavljem ili odjeljkom o teoriji skupova. (Rudy Rucker 1982.)

Cantorovu viziju beskonačnosti najlakše je objasniti jednostavnom zagonetkom. Zamislimo velik stadion pun ljudi i zamislimo da želimo ustanoviti ima li više sjedala, više ljudi, ili ih je jednak broj. Mogli bismo izbrojati ljude, izbrojati sjedala pa usporediti ta dva broja, no to bi predugo trajalo. Postoji mnogo pametniji način: uputimo ljude neka sjednu. Svi. Pa ako neka sjedala ostanu prazna, ljudi je manje. Ako neki ljudi ostanu stajati, manje je sjedala. Ako su sva sjedala zauzeta i nijedan čovjek nije ostao stajati, tada je broj sjedala jednak broju ljudi.

Cantor je ovaj trik poopćio. Rekao je da su dva skupa brojeva jednako velika ako jedan skup može ”sjesti” iznad drugoga tako da niti jedan broj ne ostane sam… Stvari postaju zanimljive kada dođemo do beskonačnih skupova… Iz skupa cijelih brojeva mogli bismo izvaditi beskonačan broj članova, primjerice, izvadimo sve neparne brojeve. Veličina skupa ostat će i dalje nepromijenjena. Svi i dalje imaju svoje sjedalo i svako je sjedalo popunjeno:

0   1    2    3    4    5     6   …

0   2    4    6    8   10   12   …

To je definicija beskonačnog: nešto što ostaje jednako veliko čak i ako oduzimamo od njega.

Parni, neparni i cijeli brojevi, svi su jednako veliki, a njihovu veličinu Cantor je označio znakom  (alef-nula, naziv je dobio po prvom slovu hebrejskog alfabeta). Kako je skup ovih brojeva jednako velik kao i skup prirodnih brojeva, bilo koji skup veličine alef-nula zove se prebrojivi. (Naravno, niti jedan od tih skupova ne možemo prebrojiti osim ako na raspolaganju imamo beskonačno mnogo vremena.) Čak i racionalni brojevi, skup brojeva koji se mogu zapisati u obliku a/b ako su a i b cijeli brojevi, prebrojivi su. Dosjetljivim načinom Cantor je racionalnim brojevima dodijelio njihova sjedala i pokazao da su veličine alef-nula.

Pitagora je znao da racionalno nije jedino što postoji pod kapom nebeskom… Cantor je otkrio da je skup realnih brojeva mnogo veći od skupa racionalnih i sasvim jednostavno je to dokazao.

Zamislimo da već imamo savršen plan sjedenja za realne brojeve, da svaki realan broj ima mjesto za sjesti, i da je svako mjesto popunjeno. To znači da možemo napraviti popis sjedala i realnih brojeva koji na tim mjestima sjede. Trik je bio taj da je Cantor stvorio realan broj koji nije na popisu.

Pogledajmo prvu znamenku prvog broja na popisu… Zamislimo neki novi broj. Da je jednak prvom broju na popisu morao bi na prvom mjestu iza zareza također imati dvojku. No, to možemo lako spriječiti… Kako ćemo znati da je naš novi broj različit od drugog broja na popisu? … Druga znamenka iza zareza drugog broja na popisu je 9. Ako naš novi na tom mjestu ima … različitu znamenku, možemo biti sigurni da je različit od drugog broja na popisu… Isti posao nastavljamo sve do kraja popisa: provjerimo treću znamenku iza zareza trećeg broja i promijenimo je, četvrtu znamenku iza zareza četvrtog broja itd…

Nastavljajući tako po dijagonali stvorit ćemo novi broj i osigurati se da je različit od svih brojeva na popisu… No bili smo pretpostavili da su na popisu svi realni brojevi. Nailazimo na kontradikciju. Izgleda da plan sjedenja ne postoji. (Charles Seife 2000.)

To da ne postoji plan sjedenja znači da realnih brojeva ima neprebrojivo beskonačno, a ne prebrojivo kao prirodnih ili racionalnih. Razlikovanje aktualne od potencijalne beskonačnosti zamijenjeno je razlikovanjem prebrojive od neprebrojive beskonačnosti.

Cantorov nauk o skupovima na izvanredno je smion način raskinuo s gotovo svom filosofskom i matematičkom tradicijom ispitivanja pojma beskonačnoga sve od Aristotela tako što je odstupio od dotada posvuda prihvaćene teze da ono beskonačno jest tek kao potencijalno. To je bilo moguće zato što je Cantorov nauk za aktualno beskonačne skupove stavio izvan snage fundamentalni aksiom koji je formulirao još Euklid: ”Cjelina je veća od dijela.” Doista, shvati li se skup parnih brojeva kao aktualno beskonačan, a jednako tako i skup svih cijelih brojeva, onda je s jedne strane očito da je prvi skup pravi dio drugoga, a s druge se članovi obaju skupova mogu jednoznačno pridruživati drugima…

Moglo bi se pretpostaviti da dva skupa kojih se članovi mogu jednoznačno pridruživati jedan drugome imaju istu ”veličinu”… Tako, dakle, tu jedan pravi dio ima jednaku veličinu… kao i cjelina.

Taj primjer usporedbe skupa parnih ili također kvadratnih brojeva sa skupom cijelih brojeva bio je odavna poznat; na to su upozoravali Galilei i Leibniz. Nova je bila samo Cantorova interpretacija. Dok su Galilei i Leibniz mislili kako povreda principa da je cjelina veća od dijela pokazuje nemogućnost aktualnog shvaćanja beskonačnoga… Cantor je upravo tu započeo svoju teoriju. On je sve skupove čiji se članovi mogu jednoznačno pridružiti članovima skupa cijelih brojeva nazvao ”izbrojivima” i dokazao da je skup racionalnih brojeva izbrojiv … dok to, naprotiv skup svih realnih (racionalnih i iracionalnih) brojeva nije. (Oskar Becker 1959.)

Možda se u toj mijeni pojma matematičke beskonačnosti krije i zametak jedne metafizičke mijene? Dok je za Grke ono zbiljsko/aktualno bilo konačno/ograničeno, a beskonačno/neograničeno je bila tek mogućnost/potencijal, za nas je, možda baš negdje od druge polovice 19. stoljeća, ono racionalno tek manji dio ne-brojivog realnog.

Sama matematika je dobila vjetar u leđa – nova središnja uloga pojma skupa i odbacivanje straha od aktualno beskonačnoga omogućili su dotad nezamislivo jedinstvo matematike.

Hilbert, možda najveći matematičar našeg stoljeća, reći će da nas više nitko ne može izbaciti iz Cantorovog raja. (Zvonimir Šikić 1995.)

Ipak, uskoro su i u raju uslijedile nevolje.

Literatura:

  1.  Roger Penrose, The Road to Reality, London 2004., str. 54.-57., preveo: ja
  2. Zvonimir Šikić, Filozofija matematike, Zagreb 1995., str. 42.-44., link
  3. Rudy Rucker, Infinity and Mind, Princtone 2005. (11982.), str 62.-63., preveo: ja
  4. isto
  5. Charles Seife, Nula, Zagreb 2008. str. 152.-156., prevela: Lucija Horvat, izvornik: Charles Seife, Zero: The Biography of a Dangerous Idea (2000.)
  6. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 103.-104., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
  7. Zvonimir Šikić, isto, str. 54.
Oglasi

2 misli o “beskonačno?

  1. Uh, dođosmo i do najtežeg problema od svih, davore. Mogao sam i pretpostaviti da ćeš doći do beskonačnosti. Tvoji postovi imaju jasan slijed. Ali isto tako, pretpostavljam da je ovaj post samo “jedna strana medalje” jer obrađuje beskonačnost sa stajališta matematike i da ćeš se uskoro baciti i na fizikalno poimanje beskonačnosti.

    S matematikom imam jedan problem, geometrija mi je u redu, ali s brojevima i nisam baš “kod kuće”. Ne znam zašto je to tako, zato valjda više uživam u nekim drugim područjima. Nekad se pitam koliko je matematika umjetnost za sebe, a koliko je doista utemeljena u stvarnosti. Za svaku umjetnost, da bi je razumio, čovjek mora imati osjećaj. Za algebru moram tužno ustvrditi da mi taj osjećaj izostaje. Ne razumijem svo to dijeljenje, množenje, nema mi, prema mojoj mjeri, utemeljenje u stvarnosti. Možda mi možeš preporučiti neku knjigu tipa filozofija matematike i sl. u kojoj se ta veza jasnije razlaže…?

    Ono što je magijsko u samoj matematici i što joj moram priznati jest to nevjerojatno podudaranje u problemima sa stvarnošću. Ali što je na stvari? Svaki put čovjek domisli matematiku kako bi u nju uveo odabrani problem iz stvarnosti. Recimo, imamo problem kretanja pa se onda izmisli diferencijalni račun itd. Međutim problem beskonačnosti postoji i u matematici kao i u stvarnosti, gotovo neovisno. A, nije li onda riječ o dvije različite beskonačnosti? Barem to ja tako osjećam…

    Iz posta je očigledno da sve kreće s teorijom skupova, ali se ne osjećam kompetentnim za komentiranje. Čekam i “drugu starnu medalje”! 🙂

    Sviđa mi se

    • Vidim da ti dobro radi magičarski sluh za neizrečeno 🙂 , pa si točno naslutio dvije teme o kojima sam htio pisati, ali sam u međuvremenu to odgodio za neka buduća vremena većega zamaha.

      Prva od njih je pitanje kako je beskonačno dospjelo u fiziku, kako smo se otkačili iz središta – niz bi bio otprilike Kuzanski-Kepler-možda Bruno-Galilei-Newton. Paralelno s tim, ili u drugom tekstu, izložio bih i strah koji su u Novom vijeku osjetile najtankoćutnije duše (Pascal, Nietzsche i možda još netko) spram tog gubitka Zemlje kao središta i suočenja s beskonačnim svemirom.

      Druga tema, koja je trebala ići nakon ovog zapisa, je upravo pitanje kako to da matematika uspijeva u fizici, i drugim prirodnim znanostima? Tu imamo i drugu stranu medalje naspram ove o kojoj ti govoriš – naime, postoji i niz primjera da je matematički aparat prethodno otkriven neovisno o potrebama bilo kakve izvanmatematičke realnosti, a tek potom se našlo da začudo takva ”čista matematika” ipak lijepo opisuje neku fizičku realnost (npr. krivocrtne geometrije i opća teorija relativnosti). Također, osim što mi na neki način apstrahiramo matematičke forme iz iskustva/prirode, vrijedi i to da matematika ”ispravlja” naše iskustvo. Na primjer, kad u fizici obavljamo neka mjerenja dviju proporcionalnih veličina, i očekujemo da će graf biti pravac, redovito vrijednosti koje doista izmjerimo donekle odstupaju od pravca. Takva odstupanja pripisujemo ”ne-savršenosti” našeg mjerenja, i pretpostavljamo da bi ”savršeno” mjerenje (koje zapravo nikad ne postoji) dalo matematički točan pravac. Zato mi se taj odnos matematičke i iskustvenih prirodnih znanosti čini složenijim od jednostavnog modeliranja iskustva.

      Što se tiče dijeljenja, možda bi kao pisac mogao naći osjećaj za te stvari ako ga shvatiš kao analogiju (ana-logia znači isti logos, dakle, isti omjer/ratio). a:b =c:d znači da vrijedi analogija a prema b kao c prema d.

      Skupovi su doista postali središnje mjesto ne samo matematike – zapravo se pokušalo sve općenitosti svesti na skupove. Sljedeći će zapis pokazati neke od paradoksa koji se pritom javljaju.

      Sviđa mi se

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s