Russellov paradoks?

Lacan smatra da se u jeziku uvijek pojavljuje nešto anomalno, nešto neobično, neobjašnjivo: aporija. Ove aporije upućuju na prisutnost ili utjecaj realnoga u simboličkom poretku. O njima govorim kao o petljama u simboličkom poretku.

Argument koji je u ranom dvadesetom stoljeću nastojao razriješiti Bertrand Russell sačinjava upravo takvu aporiju. Pokušao je ispitati status svih kataloga koji ne uključuju sebe kao članove. Na primjer, lako se može zamisliti umjetnički katalog koji na dugačkom popisu drugih umjetničkih kataloga spominje samog sebe, a bez sumnje postoje neki koji to čine. Međutim, razmotrimo dilemu nekoga tko nastoji napraviti katalog koji uključuje sve one kataloge koji ne spominju sebe unutar svojih vlastitih korica… Treba li ta osoba naslov toga kataloga što ga stvara uključiti u svoj popis? Ako ga on/a odluči ne uključiti, onda će to također biti katalog koji ne sadržava sebe kao član i koji bi zato trebao biti uključen. S druge strane, ako ga odluči uključiti, onda će to biti katalog koji uključuje sebe kao član i koji zato ne bi trebao biti uključen. Što tvorac kataloga treba učiniti?

Precizan status kataloga koji ne uključuju same sebe na kraju ostaje paradoksalan: nemoguće je utvrditi što sadržava, a što ne. Lacanovo … realno … upravo je takve prirode. Njegov status uvijek nalikuje onom logičke iznimke ili paradoksa. (Bruce Fink 1995.)

Ovaj je primjer s katalozima jedna varijanta koja dobro pokazuje paradoks, ali je važan i kontekst u kome je Russell dospio do tog paradoksa: rad na utemeljenju matematike u teoriji skupova. U drugoj polovici 19. stoljeća došlo je do velike mijene u pojmu broja, tako da je najopćenitije broj (naime, realni broj) shvaćen kao beskonačni skup. Time je na mjesto temeljnog matematičkog pojma umjesto prirodnog broja (kod Grka) ili općenito ratia (od početka Novog vijeka) stupio pojam skupa.

Grci nisu o omjerima mislili kao da su i sami brojevi. No, do vremena Descartesa i Newtona, brojevi su rekonstruirani. Kao što reče Newton: ”Pod brojem razumijevamo ne toliko neko mnoštvo jedinica [kao Grci], koliko apstraktni omjer (ratio) bilo koje veličine spram druge istovrsne veličine, a kojega uzimamo kao jedinicu.” … Posljedično, prirodni su brojevi svedeni na posebni slučaj omjera. …

Drugu korjenitu rekonstrukciju naš pojam broja je pretrpio s pojavom teorije skupova u 19. stoljeću, na osnovi rada matematičara poput Cantora, Dedekinda i drugih… Opaženo je da skupovi predstavljaju prirodne brojeve i stoje u omjerima: primjerice jedan skup može biti n-član a drugi 2n-član, pa drugi može biti dvostruko-član prema prvome. Zapravo određeni skupovi imaju sva matematički zanimljiva svojstva koja imaju prirodni brojevi, pa su prirodni brojevi jednostavno poistovjećeni sa skupovima od kojih se matematički ne mogu razlikovati. I omjeri su poistovjećeni sa skupovima koji pokazuju sva matematički bitna svojstva koja se pripisuju racionalnim brojevima. Na primjer, omjer se nekad poistovjećuje sa skupom parova brojeva koji stoje u takvom omjeru. Slično su se realni brojevi poistovjetili sa određenim skupovima koji imaju sva matematički zanimljiva svojstva koja karakteriziraju realne brojeve… Ova zamjena brojeva skupovima je paradigmatična za glavnu struju metafizike u dvadesetom stoljeću, koja univerzalije (vidi ovdje) Platona ili Aristotela ne odbacuje naprosto, poput nominalista, nego ih preobličuje u skupove. (John Bigelow 1995.)

Cantorov raj” je, dakle, u tome što je u teoriji skupova pronađen jedinstveni temelj raznolikih grana matematike. Prva nevolja u raju bio je Russellov paradoks. Razmotrimo ga još jednom, ovaj put u izvornom kontekstu, preko pojma skupa.

Taj paradoks ide ovako. Razmotrimo skup R koji se sastoji od ”svih skupova koji nisu članovi samog sebe”. (Za sada nije važno jeste li spremni povjerovati da skup može biti svoj član. Ako nijedan skup nije član samoga sebe, onda je R skup svih skupova.) Pitamo: što je sa samim skupom R? Je li on član samoga sebe? Pretpostavimo da jest. Tada, budući da pripada skupu R svih skupova koji nisu članovi samog sebe, ipak ne pripada samom sebi – proturječje! Druga moguća pretpostavka jest da ne pripada samom sebi. Ali, tada mora biti član cijele obitelji skupova koji nisu članovi samoga sebe, naime skupa R. Stoga R pripada skupu R, što proturječi pretpostavci da ne pripada samome sebi. To je jasna kontradikcija! (Roger Penrose 2004.)

To zahtijeva ponešto apstraktnog razmišljanja. Konkretniji je oblik također dao Russell:

Seoski brijač brije one muške stanovnike sela koji sami sebe ne briju.
Brije li se brijač sam?

Da, upravo onda ako sam sebe ne brije!

Russellova proturječja i slični paradoksi pokazuju da pojam ”skup” u svom ”naivnom” obliku može biti kontradiktoran. (Helmut Moritz 1995.)

Otkriće je potreslo matematički ”raj”, a sam otkrivač Russell je pokušao zakrpiti pukotinu, i to tako da je naprosto zabranio takve problematične skupove, i proglasio ih ne-skupovima!

Tko pročita Fregeove riječi na kraju njegova velikog glavnog djela ”Osnovni zakoni aritmetike”, riječi koje su usprkos svojoj vanjskoj opuštenosti gotovo očajničke, a kojima je 1902. prvi put objavio Russellov paradoks što mu ga je on bio saopćio u pismu, taj će još i danas moći osjetiti potresenost što ju je izazvalo to kobno otkriće… Je li samo matematičko mišljenje dospjelo u neprevladivu krizu ili se iz nje iskoprcalo?

Ne može se poreći da se u nauku o skupovima ne smije postupati onako ”naivno” kako se to dosada smatralo mogućim. Ne smiju se tvoriti proizvoljno veliki, naime ”sveobuhvatni” skupovi; treba se čuvati autoreferencijalnih … pojmova. Russell je postavio glasoviti ”princip circulusa vitiosusa”: sve što uključuje sve članove neke ukupnosti ne može biti član te ukupnosti. No znači li to ograničavanje tvorbe skupova (tj. logički gledano: tvorbe pojmova) ujedno i ograničavanje matematičkog mišljenja kao takvog? … Ne bismo li jednog dana mogli otkriti još neslućene paradokse protiv kojih princip circulusa vitiosusa ne može pomoći? I nadalje: ne krnji li stroga i konsekventna primjena tog principa domet matematičkih argumenata? Nisu li možda upravo ti sada ”zabranjeni” načini zaključivanja bili važni, čak neophodni za izgradnju golemog zdanja moderne matematike? (Oskar Becker 1959.)

Između ostaloga, to znači da ne može postojati npr. skup svih skupova (jer uključuje i samoga sebe). Ni Penrose nije baš uvjeren takvim ”rješenjem”:

Može se činiti čudnim da je nešto tako jasno poput ”skup svih skupova” zabranjen pojam… Ima nečeg što se čini prilično nezadovoljavajućim u svemu tome. Moram priznati da sam ja sam time odlučno nezadovoljan. (Roger Penrose 2004.)

Russell je krivnju za paradoksalnost prepoznao u samo-odnosnosti (auto-referencijalnosti), naime, u problemima koji se ponekad javljaju kada se neki simbolički iskaz odnosi na samoga sebe. (Primjerice,  ova je rečenica samoodnosna (mada nimalo paradoksalna) jer se odnosi na samu sebe.) Jedan takav paradoks bio je poznat još od Grka:

Russell je opisani paradoks povezao s nizom antinomija, od kojih su neke bile poznate odavno, čak iz antike. Najpoznatija je od njih paradoks lažljivca.

Najjednostavniju varijantu ovog paradoksa predstavlja čovjek koji kaže, naprosto, ”Ovo što govorim, jest laž”, ili ”Rečenica koju upravo izričem, jest neistinita”, ili jednostavno ”Lažem”. Ako govori istinu, onda laže, odnosno govori neistinu. Ako pak govori neistinu, onda nije istina da govori neistinu: dakle, ne laže. Ovakav lažljivac laže ako i samo ako ne laže.

Ovakav paradoks bio je, u različitim varijantama, poznat već u antici i historija filosofije povezuje ga najčešće s imenima filosofa megarsko-stoičke škole. Čak je i u Novom zavjetu sačuvano svjedočanstvo o popularnosti ove antinomije. Poslanica svetog apostola Pavla Titu sadrži Pavlove upute kretskom biskupu. Apostol ga opominje: ”Reče jedan od njih, njihov vlastiti prorok: ‘Krećani su uvijek lažljivi, zle živine, besposleni trbusi.’ Ovo je svjedočanstvo istinito. Zato ih strogo karaj da budu zdravi u vjeri.” (Tit 1, 12-13)

Pavlovo mišljenje o Krećanima očito nije bilo naročito pohvalno. Čak i jedan od njih kaže da Krećani uvijek lažu. Pavao smatra da je ta izjava istinita. No može li biti istinita? Naime, ako je istinita, onda je sve što Krećanin kaže neistina, pa je i ta izjava neistinita. Ako je pak neistinita, onda, znači, nije istina da svi Krećani uvijek lažu, odnosno, postoji bar jedan Krećanin koji bar katkad govori istinu. Izjava o lažljivim Krećanima obično se pripisuje Epimenidu, stanovniku grada Festosa na Kreti. Ona, može se reći, ne predstavlja paradoks istoga ranga kao jednostavni paradoks lažljivca.

Po Russelu sve ove kontradikcije imaju zajedničku strukturu. Svima je zajedničko ”samoodnošenje”, ”samooznačavanje” ili ”refleksivnost”, i u svima se do tog samodnošenja dolazi na isti način. (Goran Švob 2009.)

Izrazito kritičan (što se mene tiče, s pravom) spram Russellove zabrane samoodnosnosti je poznati ljubitelj petlji i ostalih uvrnutosti Douglas Hofstadter.

Russell se upinjao kako bi utemeljio matematiku u teoriji skupova, za koju je bio uvjeren da je najdublja osnova ljudske misli, ali baš kad je mislio da je nadomak svog cilja, neočekivano je otkrio strašnu prazninu u teoriji skupova. Ta praznina (ta riječ je savršeno prikladna na ovom mjestu) temeljila se na predočbi o ”skupu skupova koji ne sadrže sebe”, predočbi koja je bila legitimna u teoriji skupova, ali za koju se pokazalo da duboko proturječi samoj sebi…

Kad se pokazalo da teorija skupova dopušta postojanje entiteta koji sami sebi proturječe, poput spomentuoga, Russelov san o postavljanju čvrste podloge matematici raspao se kao kula od karata. Ta je trauma izazvala u njemu strah od teorija koje dopuštaju petlje samosadržavanja ili petlje samoreferentnosti, jer je on intelektualnu propast koju je doživio pripisivao petljastosti i samo petljastosti.

Pokušavajući se oporaviti, Russell je nakon toga u suradnji s Whiteheadom, svojim starim mentorom koji mu je u međuvremenu postao kolega, izmislio novu vrstu teorije skupova u kojoj se definicija skupa nikad ne može pozivati na taj skup i, osim toga, u kojoj je uspostavljena stroga jezična hijerarhija kojom se isključuje da se bilo koja rečenica uvrće u samu sebe. U knjizi Principia Mathematica nije smjelo biti nikakvih skupova koji bi se preklapali u sebe niti se je jezik smio vraćati u sebe. Ako je neki formalni izričaj sadržavao riječ kao što je ”riječ”, ta riječ se nije smjela odnositi na sebe niti je smjela uključivati sebe, već se odnosila samo na entitete na razinama ispod sebe.

Kad sam pročitao o toj ”teoriji skupova” učinilo mi se da je to patološki uzmak od zdravog razuma, kao i od čarolije petlji. Što bi pobogu moglo biti krivo u tome da ”riječ” spada u kategoriju ”riječi”? … Kako treba gledati na rečenicu ”Ova rečenica sadrži petnaest slogova” ili ”Posljednja riječ u ovoj rečenici je sedmeroslovna imenica”? Vrlo je lako razumjeti obje te rečenice; očito je da su one istinite, a ni u kom slučaju nisu paradoksalne… Učinilo mi se da je kategoričko isključivanje svih referentnih petlji takav paranoičan manevar da sam za cijeli život ostao razočaran umom Bertranda Russella koji je, pošto se opekao, puhao na hladno.

Mnogo godina nakon toga, kad sam pisao mjesečnu kolumnu pod naslovom ”Metamagične teme” za časopis Scientific American, posvetio sam svoja dva članka temi samoreferentnosti u jeziku i u njih sam uključio mnoštvo rečenica … poput sljedećih:

  • Ako bismo zamijenili značenja riječi ”istinit” i ”lažan”, onda ova rečenica ne bi bila lažna.
  • Sljedeća rečenica je potpuno identična s ovom, osim u tome što su riječi ”sljedeća” i ”prethodna” zamijenile mjesta, isto kao i riječi ”osim” i ”u” te izrazi ”identična s” i ”različita od”.
  • Prethodna rečenica je potpuno identična s ovom, u tome što su riječi ”prethodna” i ”sljedeća” zamijenile mjesta, isto kao i riječi ”u” i ”osim” te izrazi ”različita od” i ”identična s”.
  • Oav rečenica nije samoreferentna jer ”oav” nije riječ. (…)

Reakcije mnogih čitatelja bile su pozitivne, ali je također bilo i nekoliko krajnje negativnih reakcija na ono što su neki čitatelji smatrali pukom frivolnošću u inače uglednom časopisu. Jedan od najljućih prigovora … naveo je izjavu poznatog psihologa B. F. Skinnera u vezi s temom samoreferentnih rečenica.

”Možda nema nikakve štete u igri rečenicama na taj način … ali je to svejedno gubitak vremena, osobito kad se tako stvorene rečenice nisu mogle izreći u obliku verbalnog ophođenja. Klasičan primjer toga je paradoks poput onoga: ‘Ova rečenica je kriva’, koja se čini istinitom ako je kriva a krivom ako je istinita. Najvažnije je uzeti u obzir da nitko nikad ne bi mogao izreći tu rečenicu kao verbalno ophođenje…”

U sljedećem broju napisao sam dugačak odgovor … navodeći slučaj za slučajem očigledne i često korisne, čak i nužne samoreferentnosti u običnoj ljudskoj komunikaciji, kao i u humoru, umjetnosti, književnosti, psihoterapiji, matematici, računalskoj znanosti i drugdje. No nisam se uspio osloboditi spoznaje da su neki viskoobrazovani i inače razumni ljudi iracionalno alergični na zamisao samoreferentnosti i na ustrojstva ili sustave koji se uvrću sami u sebe. (Douglas Hofstadter 2007.)

Literatura:

  1. Bruce Fink, Lakanovski subjekt: između jezika i jouissance, Zagreb 2009., str. 36.-37., prevela: Ana Štambuk, izvornik: Bruce Fink, The Lacanian subject: between language and jouissance (1995.)
  2. John Bigelow, Number, u A Companion to Metaphysics, uredili J. Kim i E. Sosa, Oxford 1995., str. 364.-365., preveo: ja
  3. Roger Penrose, The Road to Reality, London 2004., str. 372., preveo: ja
  4. Helmut Moritz, Znanost, um i svemir, Zagreb 1998., str. 34.-35., preveo: Dušan Trbojević, izvornik: Helmut Moritz, Science, Mind and the Universe: An Introduction to Natural Philosophy (1995.)
  5. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 112.-113., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
  6. Penrose, isto, str. 372.,373.
  7. Goran Švob, Od slike do igre, Zagreb 2009., str. …
  8. Douglas Hofstadter, Čudnovata petlja sam ja, Zagreb 2008., str. 92.-93., preveo: Žarko Vodinelić, izvornik: Douglas Hofstadter, I am a Strange Loop (2007.)
Oglasi

2 misli o “Russellov paradoks?

  1. Prošle godine sam pročitao Čudnovatu petlju i moram priznati da mi je Hofstader pokopao i posljednji tračak vjere u dualnost materije i duha…:)
    Opet mi je planulo zanimanje za matematiku i njene temelje, naravno, više za njenu filosofiju. Knjiga Zvonimira Šikića koju sam našao na tvom blogu čini mi se odličnim uvodom…Ti paradoksi kojima je matematika bila “napadnuta” na prijelazu stoljeća upravo me nukaju na matematiku gledati iz nekog drugog kuta. Promišljati je kao čovjekov stvaralački čin, ako je to uopće moguće. Matematika je, prema teoriji skupova, dakle, zasnovana na odnosu dijelova prema cjelini. Ta mi se izjava čini temeljnom i o njoj upravo razmišljam… Od cjeline učiniti dijelove, to mi se čini stvaralačkim.
    Kriza osnova matematike će svoju kulminaciju doživjeti s Gödelom, nije li tako? Dakle, slijedi nam osvrt na legendarni članak “O formalnoj neodlučivosti…” …?

    Inače, način na koji istražuješ svijet duha, davore, fenomenalan je, kako se krećeš od fenomena do fenomena. Dođi mi da svaki tvoj zapis na svom blogu samo književno obradim (prepričam) i to bi bilo to… 🙂 Gledati na svijet “očima duha” meni je dovoljno kako bih ostvario smisao svog života…

    Sviđa mi se

    • Sjećam se kad mi je prijatelj prije puno godina posudio Hofstadterov GEB (tad je to bila prva ”filosofska” knjiga koju sam čitao, ako ne računamo Nietzschea), kako me petnestak minuta s iskrenim oduševeljenjem uvjeravao u Hofstadterovu genijalnost i duhovitost, i prepričavao neke dijelove knjige… da bi ne kraju samo usput dodao pokazujući na knjigu ”naravno, to je sve pogrešno”. 😀 Sad je i moj stav prema Čudnovatoj petlji otprilike takav – sjajno i nadasve zanimljivo, ali ”pogrešno”. Naime, i dalje spadam među one ”sumnjičavce” (str. 336.) koji ne smatraju da je svijest ”djelovanje mozga na razini simbola u kojemu se odražavaju vanjska zbivanja”, nego je svijest upojedinjenost iskustva u moje sada-tu i kao takva formalni, neukidivi i nesvodivi (kantovski) preduvjet raznolikih sadržaja svijesti, pa i onih znanstvenih. Meni se čini da bi svijet ”objektivno” mogao potpuno jednako funkcionirati bez toga da ima nečega kao što je moje upojedinjeno iskustvo, a da sve što ja inače činim mehanički obavljaju neki roboti koji nemaju nikakvo svoje iskustvo.

      Naravno, opet si pogodio očekujući Gödela (ne nužno kao sljedeći zapis, ali uskoro); čak već sad mogu najaviti da se u vezi s tim sprema jedno iznenađenje po kojem će se taj post isticati spram ostalih. Stay tuned! 🙂

      Hvala ti na pohvalama. Doista su nas više nego jednom pogodile iste frekvencije (nešto ću komentirati i na tvom blogu 🙂 ). Iskreno, za ovaj post više vjerujem da ti se svidio nego za prošli jer se ovaj nekako sam posložio u vrlo kratkom vremenu (ja sam ga samo zapisao) dok me prošli namučio (nikako pohvatati konce, stalno se raspadao) pa vjerojatno ni čitanje nije glatko.

      Sviđa mi se

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s