matematika i muzika? (ulomak iz Z. Šikić/Z. Šćekić, Matematika i muzika)

Pitagora je izvor svoje matematičke filosofije našao u muzici. Njezin sustav reda i ljepote izgrađen je na suglasjima oktave, kvinte i kvarte, koji se iz kaotičnog kontinuuma uhu dostupnih intervala izdvajaju svojom konsonantnošću, ali i jednostavnom matematičkom formom. Interval oktave ostvaruje se titranjem žica kojima duljine stoje u omjeru 2:1, interval kvinte ostvaruje se omjerom 3:2, a interval kvarte omjerom 4:3 (velika terca ima omjer 5:4, a mala 6:5). …

Prema predaji, Pitagora je prolazeći kraj kovačnice čuo konsonantne intervale kvarte, kvinte i oktave proizvedene udarcima različitih čekića o nakovanj. Istraživši tu pojavu ustanovio je da se težine čekića, koji proizvode tonove raspoređene u tim intervalima, odnose kao 4:3, 3:2 i 2:1. Nastavljajući eksperimente s lirom i monokordom (jednožičanim glazbalom) ustanovio je da isto vrijedi i za duljine žica.

(Vincenzo Galilei, otac Galilea Galileija, pokazao je 1589. da priča o čekićima ne može biti istinita, jer se težine čekića moraju odnositi kao kvadrati duljina monokorda da bi proizveli iste intervale. Dakle, kvartu, kvintu i oktavu proizvode čekići s omjerima težina 42:32:22:12. Vincenzo je ustvrdio da isti omjeri vrijede i za težine utega kojima se opterećuje jedna te ista žica, kao i za promjere različitih žica iste vrste; što je sve točno. Također je ustvrdio da se isti intervali postižu na puhačkim instrumentima, ako se odgovarajući obujmi stupaca zraka u cijevima glazbala nalaze u omjeru 4:3:2:1, tj. ako su duljine stupaca u kubnom omjeru 43:33:23:13. To nije točno, jer visina tona ovisi samo o duljini stupca, a ne o njegovu obujmu.) …

Pitagora je formulirao zakon malih brojeva, ali ga nije objasnio. Saznali smo da su dva broja konsonantna ako im frekvencije stoje u omjeru malih (prirodnih) brojeva, ali nismo saznali zašto je to tako.

Zamislite (ili provedite) sljedeći eksperiment. Lagano rastegnite savitljivu telefonsku žicu, pa je zanjišite ravnomjernim pokretima ruke tako da titra lijevo-desno, tvoreći jedan val. To ćete postići tek pri određenom broju titraja u sekundi, što znači tek pri određenoj frekvenciji.  Ako povećate frekvenciju, val će se razbiti, a žica će se početi opirati ruci. No, u jednom trenutku opet će početi s ravnomjernim titranjem, tvoreći sad dva vala. To će se dogoditi kada se početna frekvencija udvostruči… Ako frekvenciju utrostručimo, dobit ćemo tri vala…

Da je frekvencija titranja jednog vala bila 131 Hz, mi bismo tu vibraciju (tj. titranje) čuli kao ton c. Frekvencija dvostrukog vala bila bi tada 262 Hz i tu bismo vibraciju čuli kao za oktavu viši ton c1. Frekvencija trostrukog vala bila bi 393 Hz i tu bismo vibraciju čuli kao ton g1. Četverostruki val proizveo bi c2, peterostruki e2, a šesterostruki g2. …

Odsviramo li simultano ovih šest tonova, čut ćemo akord vrlo blizak našem uhu. Naime, on sadrži trozvuk c+e+g koji je temelj zapadne harmonije. Odsviramo li istih šest tonova simultano, ali sada tako da intenzitet tonova opada od c prema g2, čut ćemo jedan bogati i puni c, u kojemu nećemo ni prepoznati ostale tonove. Upravo tako zvuče naša glazbala. Njihove vibracije, osim osnovne frekvencije koja određuje visinu tona, uvijek sadrže i više frekvencije (dvostruku, trostruku,…) u sve slabijem intenzitetu. Razdioba intenziteta tih viših frekvencija (tzv. viših harmonika ili alikvotnih tonova) zapravo određuje boju tona i po njoj se zvuk violine razlikuje od zvuka glasovira, zvuk glasovira od zvuka oboe, itd. Kada bismo čuli samo osnovnu frekvenciju (jednostavni ili sinusni ton), to bi zvučalo umjetno, prazno, bez obujma. Nijedno glazbalo ne proizvodi takve tonove. (Oni se mogu proizvesti elektronički.) Alikvotni tonovi jednog jedinog ali bogatog tona (npr. violine ili glasovira) tvore čitavu skalu tonova. Zbog toga je Schönberg u svojem slavnom tekstu o harmoniji iz 1911. godine napisao da je … akord sinteza tona, tj. kolaps njegovih alikvotnih tonova u jedinstveni zvuk. …

U novije je vrijeme taj problem [naime Pitagorin zakon konsonantnosti] istražen eksperimentalno. Plomp i Levelt generirali su parove jednostavnih tonova tražeći od slušača procjenu njihove disonantnosti. … Najviše iznenađuje što se klasični intervali konsonantnosti, kao što su oktava i kvinta, zapravo ne ističu svojom konsonantnošću. Oni nisu minimumi na krivulji disonantnosti jednostavnih tonova.

Naša tradicionalna glazbala proizvode tonove specifične boje, koji nemaju samo jednu frekvenciju, nego čitav spektar frekvencija. Vidjeli smo da žičana glazbala, a slično je i s ostalima, najčešće proizvode harmonijske tonove čiji spektar osim osnovne frekvencije n sadrži i njezine cjelobrojne višekratnike 2n, 3n, 4n, … u sve slabijem intenzitetu… Jedan tipični obojani ton može imati sljedeći spektar:

spektar frekvencija

Ako se po dva tona ovakve razdiobe frekvencija (tj. ovakve boje) odsviraju u različitim intervalima, disonantnost svakog od tih intervala može se izračunati tako da se zbroje disonantnosti po svim frekvencijama spektra. Provedemo li taj račun za gornji spektar, dobit ćemo sljedeću krivulju disonantnosti za ton tako zadane boje:

''Uočimo da krivulja disonantnosti obojenog tona ima minimume u klasičnim muzičkim intervalima. To konačno objašnjava Pitagorin zakon i uobičajenu glazbenu praksu.'' (Matematika i muzika, str. 40.)

Uočimo da krivulja disonantnosti obojenog tona ima minimume u klasičnim muzičkim intervalima. To konačno objašnjava Pitagorin zakon i uobičajenu glazbenu praksu.

ulomak iz Zvonimir Šikić/Zoran Ščekić, Matematika i muzika, 2013., str. 11., 12., 35.-40. (graf, koji se pojavljuje u knjizi, ovdje je preuzet iz izvornog članka iz 1965.)

Evo i muzike Zorana Šćekića:

Works in just intonation

Oglasi

4 misli o “matematika i muzika? (ulomak iz Z. Šikić/Z. Šćekić, Matematika i muzika)

  1. Prenosim ovdje s forum.hr komentare pod nadimkom Davor000 (moj nadimak tamo je nitko drugi):

    Davor000: Heh, čitam blog od nitko drugog i baš vidim da čita knjigu koju sam ja prije par dana pročitao: Matematika i muzika (Šikić i Šćekić).

    Jedini problem je što ima dosta (malih) pogrešaka u matematičkim formulama koje mogu zbuniti nematematičare. U jednom dijelu je obrnuo brojnik i nazivnik za formulu koja povezuje različite baze logaritma. No oni koji znaju, njima to neće smetati.

    Još jedna zamjerka je po pitanju objašnjenja zašto su omjeri intervala za terce, kvarte i kvinte baš navedeni racionalni brojevi. Nije, naime, objašnjeno što se točno tu objašnjava ili što je nejasno. Pitagorejcima bi sama činjenica da su to omjeri malih prirodnih brojeva bila “objašnjenje”. Otkuda zahtjev da se još nešto objasni ili demistificira? Ali inače je knjiga dosta dobra i napisana tako da se lako i ugodno može čitati. (#3731)

    ja: Ne kužim. Zar onaj graf ”disonantnosti” na str. 40 (ako ti je knjiga još pri ruci) ne pokazuje u čemu je stvar? Minimumi disonantnosti javljaju se na omjerima 1/1, 6/5, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 2/1 – zar to ne provocira pitanje zašto baš tako, na malim prirodnim brojevima, a ne npr. na 56894/43902 ili tako nečemu? (#3732)

    Davor000: Svakako da provocira objašnjenje. Pitanje je samo uz pomoć čega će se to objasniti. Nemam knjigu pri ruci, ali sjećam se grafa. Mislim da je bio još jedan za vibrafon koji ima drukčije minimume.

    Ovdje sam više ciljao na pitanje što je ontološki primarno. Jesu li to mali prirodni brojevi ili neka svojstva instrumenta poput jačine alikvotnih tonova. Hoću reći da unatoč tome što se poklapa to da su minimumi na istim intervalima, još uvijek mi ostaje misterij zašto ispada da se to poklopilo na baš tim intervalima. Bez sumnje su na tim intervalima minimumi, ali meni je to još uvijek “misteriozno”. Ukratko, to objašnjenje mi ne uklanja čuđenje.

    I zar ne ostaje pitanje zašto ljudi ne koriste ljestvice za vibrafon premda bi prema tom “objašnjenju” i ta ljestvica bila jednako “dobra”? (Naravno, pod uvjetom da su počeli prvo graditi instrumente slične vibrafonu što, opet, iz nekog (kojeg?) razloga nisu.) Dakle mislim da nešto nedostaje tom objašnjenju jer je preširoko. (#3733)

    Možda da još malo pojasnim. Čini mi se bi pitagorejci samu činjenicu da su se pojavili spomenuti omjeri uzeli kao dovoljno objašnjenje. Sva objašnjenja negdje staju i mislim da bi pitagorejci rekli da su ti omjeri mjesto gdje objašnjenje staje. Nema nečeg temeljnijeg od brojeva pomoću čega se može kozmos “objasniti”. Po mogućnosti baš tih brojeva. (#3734)

    Sviđa mi se

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s