Platonova kinematika? (uz Alexander Mourelatos, Astronomy and kinematics in Plato’s project of rationalist explanation)

Je li za Grke, npr. za Platona, bila moguća kinematika kao matematička nauka o gibanju? Negiraju li Zenonovi paradoksi tu mogućnost, kako kaže Zvonimir Šikić na svome blogu u zanimljivom novom tekstu o primjenjivosti matematike u fizičkom svijetu?

Ne proizlazi li paradoksalni zaključak iz neopravdane identifikacije apstraktne matematičke dužine s konkretnom putanjom strijele? Nije li paradoks rezultat neopravdane primjene apstraktne matematike na konkretnu putanju? (Do sličnih paradoksa dolazi i Demokrit kada svoju atomističku koncepciju konkretnog svijeta materije pokušava uskladiti s kontinuiranošću apstraktnog matematičkog prostora.) Čini se da matematika ipak nije primjenljiva.

Kroz djelo Platona i Aristotela ovo negiranje primjenljivosti matematike postalo je velikom filozofijskom tradicijom. Za Platona je mathema, to izvjesno znanje o inkoruptibilnom svijetu ideja, jedina istinska znanost, jedina episteme. Matematika nije primjenljiva na koruptibilni svijet materije, pa stoga istinska znanost o tom svijetu nije moguća. Episteme physike je kontradiktoran pojam. (Z. Šikić)

Dakle, za Platona je episteme kinematike, s obzirom na nevolje sa Zenonom, kontradiktoran pojam? Alexander P. Mourelatos u svom članku iz 1981. kaže: nipošto. Doduše, primjenu te matematičke kinematike Platon nije očekivao u fizici sublunarnog svijeta, ali jest u astronomiji, odnosno, upravo ta kinematika čini istinsku astronomiju.

Članak započinje ovim teško prohodnim mjestom iz Politeje VII (529b):

Ali, kako si to zapravo kazao da treba astronomiju učiti protivno tome kako sad uče, ako bi se htjelo naučiti korisno za ono što kazujemo?

Ovako, rekoh ja: te šare na nebu, budući da su u vidljivome ušarane, smatrati da su one doduše najkrasnije i najtočnije od svega takovog, ali da za onim istinskima mnogo zaostaju, naime za kretanjima, kojima brzina koja jest i sporost koja jest bivaju međusobno kretane u istinskom broju i svim istinskim likovima, a kojima isto tako i kreću sve ono u sebi, te koja su zborom i razumom dohvatljiva, gledanjem pak ne. (Platon, prijevod Damir Barbarić)

Ulomak svakako traži neku interpretaciju:

Jasno je iz grčkog izraza da te šare na nebu nisu konstelacije zvijezda; to su zamišljeni likovi koje opisuje gibanje zvjezdanih tijela. Čim primijetimo taj detalj u načinu izražavanja shvaćamo da Platon doista postavlja paradoksalni zahtjev da obrasci gibanja nebeskih tijela neće sami, ili neće neposredno, sačinjavati predmet one znanosti koju ima na umu. Kasnije taj paradoks pojačava zloglasnom primjedbom da, u proučavanju astronomije, “sve ono na nebu ostavit ćemo” (530b7). U grčkome gore navedenog pasusa je ta implikacija da će Platonova inačica astronomije biti krajnje apstraktna pojačana upornom upotrebom određenog člana pred pojmovima kretanja, sporost, brzina, likovi, sve – što ima sintaktički učinak koji snažno podsjeća na Platonovu upotrebu određenog člana kad govori o idejama.

Retorika pasusa čini bjelodanim da je u podlozi cjelokupnog kontrasta dvaju područja, onog vidljivoga neba i onog mislive istine i stvarnosti, neka detaljna usporedba. Baš kao što u prvom području imamo vidljivu matricu, nebo, unutar koje su gibanja koja su brza/spora jedno naspram drugoga (npr. gibanje Venere u odnosu na gibanje Mjeseca) i posebno gibanja poput onih koja su sadržana u drugima (npr. gibanje planeta u odnosu na diurnalno gibanje zvijezda stajačica), tako i u drugom području imamo jednu mislivu apstraktnu matricu,  “istinski broj i svi istinski likovi”, unutar koje se kaže da “brzina koja jest” i “sporost koja jest” vrše “međusobno kretanje” te, bilo zajedno ili zasebno (tekst ostavlja obje mogućnosti otvorene), “kreću” stanovite stvari “u sebi”. Jezik je tu začudno neprohodan, ali usporedba dvaju područja služi za mapiranje manje poznate apstraktne matrice onih mislivih na poznatijoj neba. (Mourelatos)

I inače odvojenost apstraktnog od konkretnog, mislivog od osjetilnog, na kojoj Platon insistira, nije apsolutna, nego je popraćena stanovitim odnosima zrcaljenja, odslikavanja, oponašanja, sudjelovanja,…

No odlučujuće je uvidjeti da ta toliko isticana i naglašavana “odvojenost” nije nikada u Platona izlagana kao ono posljednje, konačno i nepremostivo. Štoviše, od samog je početka, već u Fedonu, oblast onog osjetilnog putem “oponašanja” i “sudjelovanja” stavljena u svojevrstan odnos spram ideja, kao što su i one same, putem “prisustvovanja”, shvaćene u svojoj upućenosti k onome osjetilnom. (Damir Barbarić, Grčka filozofija, 1995., str. 99.)

Formalni obrazac odnosa proizvedenih tim mapiranjem mogao bi se smatrati shemom za razne teoreme neobično sublimirane inačice astronomije kakvu Platon ima na umu. Tu ću znanost nadalje nazivati njenim platoničkim imenom, “istinska astronomija” (usp. “istinski astronom” u 530a3). (Mourelatos)

Primjer primjene Mourelatos nalazi u Zakonima X (893c3-d5), u dijelu koji govori o rotaciji koncentričnih krugova:

– Jedan dio onoga što se kreće vrši to na jednom mjestu, a drugi na više mjesta.

– Govoriš li, kazat ću, da se ono što dobiva sposobnost da miruje u sredini kreće na jednom mjestu, kao što se kreće krug tzv. čvrstih točkova?

– Da. Opažamo da kod toga kretanja u krugu takva pokretačka sila vrti uokolo i najveći i najmanji krug i da se razmjerno dijeli na sitne i veće krugove, tako da je razmjerno prema njihovoj veličini i manja i veća. Stoga je ona izvorom svakojakih čudnovatih pojava jer, razmjerno pružajući sporost i brzinu u isto vrijeme i velikim i malim krugovima, prouzrokuje djelovanje koje bi se moglo smatrati nemogućim. (Platon, prijevod Veljko Gortan)

Učinak kojim se bavi ovaj pasus je, naravno, vrlo jednostavan. Kada disk koncentričnih kružnica rotira, postoji neko jedinstveno koherentno gibanje, naime diska kao cjeline. Ali to gibanje sadrži gibanja svih kružnica diska. Ta se gibanja međusobno razlikuju, tako da je omjer “brze” (vanjske) kružnice naspram “spore” (unutarnje) jednak omjeru njihovih opsega ili polumjera. Suvremenom terminologijom, tu imamo jedan temeljni teorem neke opće i čiste kinematike, teorem koji povezuje kutnu brzinu skupa koncentričnih kružnica s obodnom brzinom svake od njih. (…)

Tu je nekoliko elemenata koji korespondiraju s našim tekstom Politeje VII. … Usporednost frazeologije, osim što nas upozorava na bliskost dvaju pasusa, pomaže nam prepoznati da kad Platon kaže nešto kao da se “sporost kreće” ili “brzina kreće” time ne misli na ništa kompliciranije od “postoji sporo gibanje” i “postoji brzo gibanje”. Još se poučnije paralele pojavljuju kad usporedimo jednostavni teorem iz Zakona X sa zahtjevima koji su istinskoj astronomiji postavljeni u Politeji VII. Gibanje u koncentričnim krugovima ostvaruje na tome specifičnom polju zahtjev Politeje VII da se gibanja trebaju proučavati u “svim istinskim likovima”. To da postoji odnos, čak omjer, između brzo i sporo gibajućih kružnica ispunjava zahtjev Politeje VII da  “kretanja brzine koja jest i sporosti koja jest” trebaju biti odmjerena pros a/k/a, “međusobno”, te da trebaju biti en arithmbi, “u istinskom broju” [brojčano specificirana]. To da postoji cjelokupno gibanje koje u sebi jest ujedno “veće i manje” po brzini, a koje ujedno nosi i sadrži nekoliko gibanja krugova, podvrgava se zahtjevu Politeje VII da proučavamo “brzinu koja jest i sporost koja jest” dok “kreću sve ono u sebi”. (…)

Istinska astronomija kao čista i opća kinematika (…) – to je ona interpretacija Politeje 529d koju promiče paralela sa Zakonima 893c… Ako je to što Platon traži jedna opća i čista kinematika, tj. znanost o putanjama i brzinama koje proizlaze iz toga da jedno gibanje “kreće u sebi” drugo gibanje, taj projekt pada u točno pravu nišu apstraktnosti – ne toliko visoko da bi istinsku astronomiju učinio nerazlučivom od dijalektike, ne toliko nisko da bi premostio oštru odvojenost “vidljivog neba” od određenih mislivih matematičkih bića. (Mourelatos)

Dakle, ne samo da je Platon smatrao kinematiku mogućom, ako već ne na Zemlji (da li?) ali svakako na nebu, nego je upravo kinematiku smatrao “istinskom astronomijom”. Da se doista radilo o kinematici pokazuje rasprava naslovljena Quaestiones mechanicae, Aristotelova ili vjerojatnije nekog njegovog učenika, a koja dolazi iz istog konteksta, tradicije i doba Platona i Aristotela. Tri kinematička primjera iz te rasprave:

848b11- 35 Paralelogram gibanja: Tijelo gibano u dva smjera brzinama V1 i V2, giba se dijagonalno između dviju stranica paralelograma koji se oblikuje tako da (a) pripadne stranice su u omjeru V1 : V2, i (b) kut između njih je kut između dva smjera gibanja.

zbrajanje brzina

To je danas kinematika za prvi razred srednje škole, “zbrajanje brzina”.

848b36 – 849b19 Kružno gibanje kao složeno: Gibanje u krugu može se rastaviti na gibanje duž tangente i gibanje prema središtu.

Ovo me stvarno iznenadilo. Svakako, danas opisujemo jednoliko kružno gibanje pomoću tangencijalne brzine stalno jednakog iznosa kojoj centripetalna sila stalno nadodaje infinitezimalnu brzinu prema središtu kruga, čime se održava kružna putanja ali se ne mijenja iznos brzine. Ali nisam očekivao da su Grci već tako razmišljali, naime da bi kružno gibanje bilo složeno od dva pravocrtna, odnosno, da bi pravocrtno gibanje bilo jednostavnije od kružnog.

No, Mourelatos nešto kasnije irelevira (čini irelevantnim 😀 ) ovo moje razlikovanje jednostavno-složeno:

U čisto kinematičkoj formulaciji koju smo upravo ponudili imamo, zapravo, jedan odraz poznate dvostrukosti gledišta (sintetičko i analitičko) svojstvene tom polju: ponekad iz zadanog skupa gibanja određujemo rezultatno gibanje; ponekad jedno gibanje rastavljamo u neki od njegovih mogućih skupova komponenti.

Kako se ovaj primjer odnosi spram gore navedene opće sheme iz Politeje VII?

Sa sintetičkog gledišta, u slučaju kruga: “brzina koja jest” je gibanje duž tangente; “sporost koja jest” je zakrećuće gibanje prema središtu; a “ono u sebi” je točka koja se giba po kružnoj putanji.

Izgleda da je nejasnost onih ulomaka iz Platona posljedica nepoznatosti terminologije, možda iz Akademije. Zamislimo da netko, ne znajući da se radi o terminologiji, pokuša prevesti npr. “normalna komponenta brzine”, tko zna što bi ispalo. Barbarić uz prijevod onoga mjesta iz Politeje  kaže:

Naravno, za  potanko i temeljito razumijevanje ove zagonetne rečenice neophodan je potpuni uvid  u cjelinu Platonove (i akademijske) astronomijske nauke. (Ideja dobra, Zagreb 1995., str. 216.)

Nakon paralelograma i kruga, treći primjer za ono Platonovo “u svim istinskim likovima”, jest romb:

854b16 – 855a27 Jedan divni učinak gibanju u rombu: Razmotrimo romb nejednakih dijagonala ABCD:

romb

Zamislimo da se točke A i B gibaju jedna prema drugoj određenom brzinom V, i zamislimo da se putanja po kojoj se gibaju AB istodobno giba jednakom brzinom V izravno (tj. paralelno) prema CD. Složeno gibanje točke A bit će duž dijagonale AD a točke B duž dijagonale BC. Sva gibanja dovršit će se istodobno. Posebno, A će stići u D kada B stigne u C. Pa mada su gibanja A prema B, B prema A, A prema CD i B prema CD sva jednaka [po brzini], B prelazi puno veću udaljenost, te stoga putuje puno brže nego li A. (…)

S analitičkog gledišta, u slučaju romba, “brzina koja jest” je složeno gibanje duž veće dijagonale, “sporost koja jest” složeno gibanje duž manje dijagonale, a “ono u sebi” su dijelovi ne-složenih gibanja – dvaju gibanja pod oštrim kutom ABD u jednom slučaju, dva gibanja pod tupim kutom CAB u drugom. U sva tri primjera, kad se promatra analitički, “ono u sebi” je tako opisano stoga što su to komponente rezultante. (…)

Ne tvrdim da su upravo ovi teoremi iz Quaestiones mechanicae bili poznati Platonu u vrijeme kad je pisao Politeju. Namjera mi je naprosto pokazati da se prilično neprohodnim pojmovima Politeje 529d može dati precizno značenje u raznim kontekstima čiste kinematike. Trebamo samo pretpostaviti da je Platon do vremena kad je sastavljao Politeju bio na općenit način svjestan teorema pripadnih žanru naših triju primjera iz  Quaestiones mechanicae. (…)

Za tim iskazom programa slijedi razrađen pasus (529d7-530c1) u kojem su projekti, uređaji i stavovi istinskog astronoma naznačeni četveročlanom analogijom:

istinski-astronom

Problemima se dakle služeći, rekoh ja, kao što smo geometriji, prionut ćemo tako i astronomiji, a sve ono na nebu ostavit ćemo … doista [istinsku] astronomiju prisvajajući… (Platon, Politea VII, 530b6)

Geo-metria je nekad bila “zemljo-mjerstvo”, da bi napuštajući osjetilnost uznapredovala u čistu matematičku nauku, koja opet nije nekorisna za konkretno zemljo-mjerstvo, ali mu ne robuje. Takvu je sudbinu Platon namijenio i “istinskoj astronomiji” kao kinematici. Utoliko ovaj pasus ne treba razumjeti toliko kao Platonov anti-empirizam (“sve ono na nebu ostavit ćemo”), koliko kao uvjerenje u matematičku pravilnost nebeskih gibanja, zbog čega je produktivnije baviti se matematičkom kinematikom nego li robovati empiriji. O tome kako je takav pristup donio plodove početkom Novoga vijeka, opet kod  Zvonimira Šikića: Kako su matematizirane prirodne znanosti?

ulomci iz Alexander Mourelatos, Astronomy and kinematics in Plato’s project of rationalist explanation, članak iz 1981., preveo: ja

Oglasi

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s