Platon, Aristotel i limes? (ulomak iz Željko Marković, Matematika u Platona i Aristotela)

Pojam teženja granici nalazimo jasno izrečen u jednom primjeru u [Platonovu] Parmenidu (154d-155c). U današnjem matematičkom označavanju radi se o ovom. Ako dvjema različnim veličinama a i b (a<b), kojih omjer a/b promatramo, dodamo istu veličinu x, pita se “da li će se za isti ‘dio’ (morion) razlikovati veće od manjega kao prije ili za manji?” Morion pri tome znači očevidno veličinu

morion0

Nakon dodavanja veličine x omjer je veličina

markovic mat u platonaKako je sada morion
morion

on je, za x>0, manji nego prije i teži nuli (154 d) kada x teži u beskonačnost, a a+x i b+x teže međusobnoj jednakosti. Morion je promjenjiva veličina (155 b). Taj je proces uvijek u nastajanju (gignetai aei) i nikada nije svršen (154d, 155a). Promjenjiva veličina “teži” nečemu promjenjive veličine “idu” spram nečega. Oštro se luči pojam gignesthai (postajati) od resultata postajanja, koji je einai (biti) (155a) što baca matematički odsjev i na važno mjesto u Filebu (26d) o genesis eis ousias… Ima razloga da u toj genezi gledamo supsumiran i beskonačan proces u matematičkom smislu. Jedna varijanta Platonove teorije iz predavanja O dobru, o kojoj govori Aristotel, a komentiraju je Simplikije i Temistije, pokazuje svezu graničnoga približavanja s teorijom o peras i apeiron u Filebu. Ako omeđenu dužinu raspolovimo i jednu polovinu ostavimo nedijeljenu, a drugu i dalje raspolavljamo i dodajemo te dijelove uvijek dalje nedijeljenom dijelu, onaj će dio dužine koji dalje dijelimo ići na manje, a drugi, kome dodajemo, na više i to bez kraja. U konačnoj dužini uključena je dakle neka vrsta neomeđenosti, apeirona, ili bolje dvije, jedna koja ide na više, druga na manje. I u tom vidi Platon, prema jednoj versiji Simplikija (koment. Fiz. ad 206 b, 5, 26) i prema Temistiju (koment. Fiz. ad 206 b, 8), također bit one neodređene dvojke, koju zove i mega kai mikron, gdje se mega proteže na rastenje većeg dijela bez kraja, a mikron na umanjivanje bez kraja manjega dijela. Mallon kai heton u Filebu može imati dakle i smisao u svezi s aproksimiranjem u beskonačnom procesu. Dok proces traje imamo me on; kada peras unese mjere u proces postajanja, nastaje on; geometrijsko biće ulazi u ousiju. Osim toga mallon kai heton imaju u Filebu (24 b) oznaku da nemaju telos (svršetak); telos je dakle oznaka perasa, a telos dolazi, bar u tradiciji, upravo u značenju limesa u slučaju poligona u krug upisanih kojima je krug telos (epei ho kyklos telos esti ton polygonion, Joh. Philoponus u komentaru Anal. Post. I. ad 79 a, 13). …

HE7_0099

Željko Marković (1889.-1974.)

Za današnje shvaćanje zadana jedinica dužine granična je dužina, kojoj monotono teži rastući slijed: CodeCogsEqn (2) U kome odnosu stoji u Aristotela ta granična dužina prema slijedu što njoj teži? U odgovoru na to pitanje bit će s nove strane osvijetljeno Aristotelovo shvaćanje beskonačnog graničnog postupka, a u stvarnijem će obliku izaći i filosofijska pozadina onog starogrčkog odustajanja od izravne upotrebe graničnoga prijelaza i uvođenja metode ekshaustije. Da se to pitanje rasčisti, Aristotel ga razgleda s nekoliko različitih, bitnih stanovišta svoje filosofije. Bitnost onoga beskonačnoga “dodavanjem” … stoji u tome da još uvijek preostaje nešto, izvan veličine koja se promatra, što se mora uzeti u obzir. Kako je bit beskonačnosti da je uvijek u nastajanju, beskonačno je dakle u jednu ruku bitno nezavršeno, a u drugu nešto što nema samo u sebi oznake ni omeđenosti ni cijelosti (207 a22-23); što je suprotne naravi, dakle “izvan čega ništa nema, to je završeno i cijelo” (207 a8-9).

Pojmovi cijelosti (holon) i završenosti (teleion) tako su usko vezani da Aristotel kaže:

Cijelo i završeno ili je sasvim jedno isto ili po naravi vrlo blizu. (207 a13, 228 b 13-14)

No završenost je u vezi s dva važna pojma; Aristotel naime ističe:

Ništa nije završeno što nema završetka; a taj je završetak međa (peras). (207 a14-15)

Beskonačni postupak, o kome se radi, nema sam u sebi takva završetka (telosa), kao što ga uopće nema bilo koja beskonačnost; prema tome nema u njemu ni zaustavljanja ni međe (perasa). Tako je pojam beskonačnosti doveden u vezu s tim važnim pojmom telosa, a napose perasa, za koji se zna kakvo je osobito mjesto imao u posljednjem stadiju i Platonove filosofije. Jer uvijek treba držati na umu da Aristotelova Fizika pokazuje još mnogo utjecaja Platonova naučavanja: napose to vrijedi za opreku peras-apeiron i vezu izraza peras i telos, koji su osnov teorije razvijene u Filebu.

Peras, koji znači među, metu, granicu, ono je dakle za čime se ide u takvim postupcima. … Za nas je važno da Aristotel označuje u raspravljanju o drugom Zenonovom paradoksu kao peras kraj zadane dužine (239 b23), koja je razdijeljena u takvom omjeru da nastavljanje dijeljenja u istom omjeru uvijek vodi do konvergentnog beskonačnog postupka. [usporedi Aristotelov odgovor Zenonu? (ulomak iz Boris Kožnjak, O problemu gibanja: Zenon, Aristotel, Heisenberg)] …

Aristotel rado navodi primjer iz kiparstva. Kamen je građa, hyle, iz koje kipar isklesava malo po malo Hermov kip. Vanjsko lice završena kipa njegov je eidos, koji mu je ujedno i peras. Postupak “oduzimanja” (afairesis) građe, kojim kipar dolazi do eidosa, jedan je od onih koji se javljaju i u Aristotelovu nabrajanju vrsta beskonačnoga. Uvede li se približavanje zadanoj veličini “oduzimanjem” izvana, kako je u načelu učinio na primjer Arhimed u mjerenju kružnice, a i drugi prije njega, i uzme li se u obzir konačni postupak što se pri tom javlja, navedeni je odnos hyle i eidosa, zajedno s terminologijom, zorna ilustracija u finitnom obliku postupka koji se ima nastaviti u beskonačnost u matematičkom području.

archimedes

To Aristotelovo shvaćanje perasa i terminologija u vezi s time nije se izgubila. Tako znameniti komentator Aristotelov Johannes Philipon razlažući mjesto iz Kategorija (79 a13) govori o odnosu kruga i upisanih višekuta i kaže:

a jer je krug završetak višekuta,

upotrebljavajući izraz telos mjesto perasa, za koje znamo da su usko vezani. No davno poslije to je shvaćanje opet izašlo na površinu, kad je nov duh u razmatranju beskonačnoga i izravna njegova upotreba za uvođenje novih matematičkih tvorevina postala potreba. Dugim putem razjašnjavanja komentatora i razrađivača Aristotelove filosofije iskrsli su oni u 17. st. kada James Gregory … spominje “konvergentni slijed višekuta, kome je krug završetak”, kojoj je dakle terminatio krug, a terminatio je latinski izraz za grčko peras. …

Vratimo se još na Aristotelovo shvaćanje perasa. U njegovim je očima čvrst, određen peras u svakom pogledu nešto “bolje” od nespoznajnog, neodređenog beskonačnoga. Prema Aristotelu i priroda bježi od beskonačnoga:

jer beskonačno je nezavršeno a priroda uvijek traži završetak. (715 b15-16)

Često se u Aristotelovim izvodima nailazi na znamenito ono njegovo “nužno je da se stane i da se ne ide u beskonačnost” (na pr. 256 a29), kojim se zaustavlja u započetom napredovanju prema beskonačnom. … Aristotelovo je shvaćanje da se završeno mora uvijek radije odabrati od nezavršenoga. Sve što je omeđeno završeno je, dok je neomeđeno i beskonačno nezavršeno: treba li se stoga odlučiti između konačnoga i beskonačnoga, izbor pada na konačno.

Jer uz iste posljedice uvijek valja radije uzeti omeđeno (sc. mjesto beskonačnoga). (259 a9-10)

… Beskonačni je postupak nešto što je u nastajanju, a Aristotel ističe:

A uopće je očevidno da je ono što je u nastajanju nezavršeno i da ide prema svom principu (sc. perasu), tako da je ono što je po nastajanju kasnije po prirodi ranije. (261 a13-14)

A potvrđuje to i kasnije kada navodi:

A završeno je ranije i po naravi i po pojmu i po vremenu od nezavršenoga. (265 a 22-23)

A što ovdje znači princip, arhe, vidi se jasno na primjer iz mjesta u Metafizici (1050 a 8-9) gdje se kaže:

jer princip je ono zbog čega nešto biva, a nastajanje je radi završetka (telos).

Zato se peras, čvrst i nepromjenljiv oslonac, koji stoji izvan svakog događanja i približavanja, ne može definirati beskonačnim procesom, zato napose kvadratura kruga koja radi s aproksimacijama ne može voditi do spoznajnog cilja; postojanje određene vrijednosti za ploštinu kruga ne može izlaziti približavanjem u jednom beskonačnom postupku.

ulomak iz Željko Marković, Matematika u Platona i Aristotela, 2016., str. 42.-44., 183.-185, 189,-190., izvorno: Željko Marković, Matematika u Platona i Aristotela (1939.) i Željko Marković, Beskonačni postupci u Aristotela (1955.)

Oglasi

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s