zlatni rez? (ulomak iz Scott Olsen, The Golden Section. Nature’s Greatest Secret)

Teško je raskriti povijest zlatnoga reza. Unatoč njegovoj upotrebi u drevnom Egiptu i pitagorejskoj tradiciji, prva definicija koju imamo dolazi od Euklida (325.-265. pr. Kr.), koji ga definira kao podjelu neke dužine na krajnji i srednji omjer. Najraniji poznati rad posvećen tome predmetu je Divina Proportione Luce Paciolija (1445.-1517.), redovnika opijenog ljepotom, koju je oslikao Leonardo Da Vinci, koji je prema tradiciji skovao termin sectio aurea ili “zlatni rez”. No, prva se tiskana upotreba te fraze pojavljuje 1835. u Čistoj elementarnoj matematici Martina Ohma.

Postoji mnogo naziva za taj tajanstveni omjer. … U matematičkoj notaciji … uobičajena [je oznaka] Φ ili ϕ, “fi“, prvo slovo imena grčkog kipara Fidije, koji ga je koristio na Partenonu.

Što je dakle taj zagonetni rez, i zašto izaziva toliku fascinaciju? Jedno od vječnih pitanja koje postavljaju filosofi jest od tome kako Jedno postaje Mnoštvom. Koja je narav odjeljivanja, ili podjele? Postoji li način na koji dijelovi zadržavaju neku smislenu vezu sa cjelinom?

Postavljajući to pitanje na alegorijski način Platon (427.-347. pr. Kr.) u Politeji traži od čitatelja da “uzme crtu i podijeli je nejednako”. Pod pitagorejskom zakletvom šutnje, da ne otkriva tajne misterija, Platon je postavljao pitanja nadajući se da će potaknuti odgovarajući uvid. Zašto dakle koristi crtu, a ne brojeve? I zašto traži da je podijelimo nejednako?

Da bi smo odgovorili Platonu, najprije moramo razumjeti omjer i razmjer.

Omjer (logos, ratio) jest odnos jednog broja spram drugoga, na primjer 4:8 (“4 naprema 8”). A razmjer (analogia, proportion) je ponavljanje omjera koji tipično uključuje četiri člana, tako da je 4:8 :: 5:10 (“4 naprema 8 je kao 5 naprema 10”). Pitagorejci su to zvali četveročlanim diskontinuiranim razmjerom. Nepromjenjivi omjer ovdje je 1:2 koji se ponavlja i u 4:8 i 5:10. Obrnuti omjer obrće članove, pa je 8:4 obrat od 4:8, gdje je nepromjenjivi omjer sad 2:1.

Između dvočlanog omjera i četveročlanog razmjera stoji tročlana sredina u kojoj je srednji član u istom omjeru spram prvoga kao što je zadnji spram njega. Geometrijska sredina između dva broja jednaka je drugom korijenu njihovog umnoška. Tako je između recimo 1 i 9 geometrijska sredina √(1∙9)=3. Taj se odnos geometrijske sredina piše kao 1:3:9, ili, obratno, kao 9:3:1. Može se također potpunije napisati kao kontinuirani geometrijski razmjer gdje ta dva omjera ponavljaju isti nepromjenjivi omjer 1:3. Dakle, 1:3 :: 3:9. Tu je 3 geometrijska sredina koja je zajednička objema omjerima, spajajući, ili preplićući ih zajedno u ono što su Pitagorejci zvali tročlanim kontinuiranim geometrijskim razmjerom.

Platon drži da je kontinuirani geometrijski razmjer najdublji kosmički spoj. U svome Timeju svjetska duša spaja zajedno, u jednu skladnu rezonanciju, mislivi svijet oblika (uključujući čistu matematiku) gore, i vidljivi svijet tvarnih predmeta dolje, preko nizova 1, 2, 4, 8 i 1, 3, 9, 27. Oni čine proširene kontinuirane geometrijske razmjere  1:2 :: 2:4 :: 4:8, and 1:3 :: 3:9 :: 9:27.

olsen 1

Da se vratimo na našu zagonetku, zašto Platon od nas traži nejednaki rez? Jednaki rez bi doveo do omjera cjelina:dio jednakog 2:1, a omjer dvaju jednakih djelova bio bi 1:1. Ti omjeri nisu jednaki pa tu nema nikakvog razmjera!

Postoji samo jedan način za oblikovati razmjer iz jednostavnog omjera, a to je preko zlatnog reza. Platon želi da otkrijete neki posebni omjer, takav da je cjelina naprema dužem dijelu jednaka dužem dijelu naprema kraćem. I obrat vrijedi, kraći dio naprema dužem jednak je dužem naprema cjelini.

A zašto crta, a ne naprosto brojevi? Platon je shvatio da je odgovor u jednom iracionalnom broju koji se može geometrijski dobiti na crti, ali se ne može izraziti kao jednostavan omjer (vidi nesumjerljivost?).

Riješimo li taj problem matematički, i prepostavimo li da je sredina (duži dio) jednaka 1, nalazimo da je ono veće zlatorezni iznos 1.6180339… (za cjelinu), a ono manje zlatorezni iznos 0.6180339… (za kraći dio). Označit ćemo ih kao Φ, ono Veće, i ϕ, ono Manje. Primijetimo da je njihova razlika Jedno [naime 1]. Nadalje, kvadrat Većeg je 2.6180339, ili Φ+1. Također primijetimo da je jedan recipročna vrijednost drugoga, tako da je ϕ=1/Φ. …

Primijetimo (dolje, s lijeva na desno) da Jedno može djelovati kao ono Veće (cjelina), Sredina (duži dio) ili kao ono Manje (kraći dio).

olsen 2

Prijeđemo li s jednodimenzionalne crte na dvodimenzionalnu površinu, nije teško otkriti zlatni rez.

Započnimo s kvadratom. Luk sa središtem u polovištu njegove osnovice se povuče od gornjeg vrha, i time lako dobijemo jedan veliki zlatni pravokutnik.

olsen 3

Važno je da je i mali pravokutnik kojega smo tako dodali kvadratu također zlatorezni pravokutnik. Nastavimo li s tim postupkom dobit ćemo par takvih malih zlatoreznih pravokutnika.

olsen 4

Obratno, uklonimo li kvadrat iz zlatoreznog pravokutnika preostaje jedan manji zlatorezni pravokutnik, i taj se proces može nastaviti neodređeno dugo te proizvesti zlatoreznu spiralu.

olsen 5

Zlatni rez na crti može se postići postavljajući dvostruki kvadrat na crti i slijedeći dijagram.

olsen 6

ulomak iz Scott Olsen, The Golden Section. Nature’s Greatest Secret, 2006., str. 2.-9., preveo: ja 

 

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s