Lakatos: matematika i dijalektika? (ulomak iz Brendan Larvor: Lakatos, An Introduction)

U jednom je pismu … Lakatos izrazio želju da postane osnivačem jedne dijalektičke škole u filosofiji matematike. Kakva bi to, moglo bi se pitati, bila neka dijalektička škola matematike? Što bi moglo značiti to da je Lakatoseva filosofija matematike oduvijek bila dijalektička?

lakatos-lr3.jpg

Imre Lakatos (1922.-1978.)

Riječ “dijalektika” poprima različita značenja u različitim ustima, ali za sadašnju svrhu se dijalektička logika može razlučiti od ostatka logike na sljedeći način. Nedijalektička logika (podjednako indukcija kao i dedukcija) bavi se odnosima zaključaka između iskaza, dok dijalektička logika proučava razvoj pojmova. Tako, na primjer, Platonova Politeia pokazuje jedan dijalektički obrazac budući da u tome djelu pojam pravednosti napreduje od vrlo jednostavnog početka prema bogatom i istančanom konačnom obliku. Na žalost, to razlučivanje je jasnije u mislima nego u praksi, budući da se pojmovi, baš poput mišića, razvijaju tako da se upotrebljavaju. Pojmovi napreduju u istančanosti time što igraju ulogu u argumentima za ili protiv iskaza u kojima se pojavljuju. U Politeji Sokrat i njegov krug razvijaju pojam pravednosti raspravljajući o tvrdnjama u kojima taj pojam igra ulogu (primjerice, o “pravedan čovjek je sretan čovjek”). Učenici u [Lakatosevom dijalogu] Dokazi i opovrgavanja raspravljaju o Eulerovoj formuli za poliedre V-E+F=2 (gdje je V=broj vrhova, E=broj bridova i F=broj strana). Raspravljajući oni preinačuju i popravljaju pojam poliedra (između ostalih). Utoliko je dijalektička logika neraskidivo povezana s logikom iskaza.

Zbog tih razloga ne možemo lako odrediti je li neka argumentacija dijalektička ili nije. Ipak, možemo neki argument analizirati najprije iz perspektive nedijalektičke logike, a potom, zasebno, s gledišta dijalektike. Odnosno, možemo najprije pitati slijedi li zaključak na ispravan način iz pretpostavki? A potom (s dijalektičke strane) možemo pitati napreduju li središnji pojmovi u istančanosti tijekom argumenta?

Primijetite da ne možemo istodobno potvrdno odgovoriti na oba ova pitanja. Jer iz perspektive nedijalektičke logike, ako se neki pojam mijenja tijekom argumenta tada se radi o pogreški ekvivokacije [homonimije]. Naime, u nedijalektičkoj logici nije dopušteno koristiti neki termin u više nego jednom smislu. Ali u nekom dijalektičkom razvoju se upravo to događa: “pravednost” na kraju Politeje znači nešto drugo nego na početku. S druge strane, ako je slijed od pretpostavki do zaključka valjan, tada središnji pojmovi moraju ostati nepromijenjeni od početka do kraja argumenta, u kojem slučaju nema dijalektičkog razvoja. Naravno, moguće je na oba pitanja odgovoriti niječno.

Tekst u kojemu su pojmovi neprestano u tijeku može biti vrlo težak za čitanje, ako se ne koristi neki literarni postupak koji naznačuje da nastupa promjena. Jedan takav postupak je dijaloški oblik. Obično svaki lik u filosofskom dijalogu predstavlja jednu posebnu razinu u razvoju pojma o kojemu se radi, i nije neuobičajeno da se takav lik predstavi pružanjem odredbe toga pojma tako da točno znamo koju razinu on zastupa. Da se vratimo na Politeju, kad Trazimah ulazi u raspravu njegov prvi doprinos je da ponudi jednu odredbu pravednosti (kao onoga što doprinosi jakome). Lakatos koristi jedan sličan obrazac u Dokazima i opovrgavanjima, gdje se neki od učenika u njegovom dijalogu predstavljaju dodavanjem modifikacija pojma poliedra. Kasnije učenici postaju zastupnici prepoznatljivih metodoloških i filosofskih doktrina.

Dijaloška forma se također može koristiti za izbjegavanje optužbi da se pisac bori protiv strašila [straw men]. Filosofski su tekstovi često naseljeni idealiziranim likovima poput “relativista” ili “nihilista”. Čitatelj bi se ponekad mogao pitati je li napadnuto gledište itko ikad zastupao. Platon se u tome pogledu nema čega bojati budući da su likovi u njegovim dijalozima obično zasnovani na stvarnim ljudima te koristi njihova imena. Sokrat u dijalozima je fiktivni lik zasnovan na stvarnom čovjeku; postojao je stvarni učitelj retorike imenom Gorgija; stvarni mladić imenom Alkibijad; itd. Naravno, Platonovi su likovi odabrani da predstavljaju određena filosofska nagnuća. Moguće je da povijesni Gorgija nije oprimjeravao tip “učitelja retorike” onako potpuno kao Platonov Gorgija, ali ta razlika nije važna zato što je Platon pisao filosofiju a ne biografiju ili historiju. Platonov Gorgija predstavlja prepoznatljiv tip a upotreba stvarnoga imena podsjeća nas da su takvi ljudi stvarno postojali. Lakatos je imena svojih učenika uzeo iz grčkog alfabeta a ne sa stranica historije, ali je svoju fiktivnu raspravu povezao sa zbiljskom matematikom i filosofijom korištenjem detaljnih napomena ispod teksta. Ponekad čak stavlja riječi stvarnih matematičara i filosofa u usta svojim likovima. Te historijske napomene onemogućuju da se Lakatos optuži da je izmislio neku tezu samo da bi je potom srušio ili da je učitao u povijest matematike obrasce koji se zapravo nikad nisu dogodili. Kritičari se moraju ograničiti na tvrdnje (koje neki i iznose) da obrasci matematičkog zaključivanja u Dokazima i opovrgavanjima nisu tipični. Takav spor se može riješiti samo širokim historijskim istraživanjem, baš kao što je pitanje je li Gorgija doista predstavljao uobičajeni tip (učitelja retorike) u Platonovoj Ateni također empirijsko pitanje.

Do sada bi, dakle, naše pitanje “kakva bi bila neka dijalektička filosofija matematike” moglo imati sljedeći privremen odgovor. Učenici u Dokazima i opovrgavanjima matematički argumentiraju koristeći pojam poliedra. Tim argumentima mijenjaju taj pojam nabolje. Dijalektička filosofija matematike proučava to zbivanje u kojemu matematički argumenti unapređuju matematičke pojmove.

Ipak valja primijetiti da se u filosofskom proučavanju matematičke dijalektike ne može raditi o pronalasku nekog općevažećeg recepta za bolje pojmove, budući da put od jednostavnosti do istančanosti suptilno varira ovisno o predmetu istraživanja. Dijalektički filosof matematike radije istražuje pojedine povijesne epizode za koje se nada da će se pokazati tipičnima za dovoljno širok raspon slučajeva da bi bile zanimljive. Čini se da su neki kritičari pogrešno razumjeli da je Lakatos umišljao kako je otkrio jedinstvenu logiku matematičkog otkrića. U svojoj izvornoj disertaciji Lakatos poriče da nešto takvo postoji. Učitelj [njegovoga] fiktivnog razreda se žali:

Ništa me ne zamara više nego beznadni pokušaj da se izgradi jedan savršen sustav heurističkih pravila. Može se ukazati na neka provizorna pravila koja nam mogu pomoći da izbjegnemo neke duboko uvriježene heurističke navike. Ali pokušati pretvoriti heuristiku u neki sustav pravila koji bi tvrdio da je obrazložio umijeće otkrića – to mi izgleda patološki.

S tim upozorenjem na umu, možemo logičke obrasce u Dokazima i opovrgavanjima podijeliti u dvije skupine.

Najprije, postoje oni slučajevi u kojima se pojam poliedra mijenja predstavljanjem neke nove vrste geometrijskog objekta. Tako primjerice učenik Alfa predlaže “šuplju kocku”, to jest krutu kocku s kockastim praznim prostorom unutra (DiO, str. 27., sl.5.). Ako je to poliedar, tad je Eulerova slutnja pogrešna budući da je za taj slučaj V-E+F=4.

The-hollow-cube-a-counter-example-to-Cauchys-proof-The-hollow-cube-is-a-cube-with-a

Učenik Delta se buni da ta “šuplja kocka” nije poliedar, nego dvije poliedarske plohe. Razred (ili u zbilji: matematička zajednica) tada mora odlučiti treba li se “šuplju kocku” računati među poliedre ili ne. Uslijed te odluke, kakva god da bude, pojam poliedra je malo jasnije definiran nego do tad. Prije nego se pojavila “šuplja kocka” nitko nije znao hoće li se nju računati kao poliedar, i taj pojam je u tome smislu bio nejasan. Utoliko dolazak nove vrste objekta prisiljava razred da dalje razvije pojam poliedra, već i samom odlukom primjenjuje li se ili ne na novi objekt.

Drugo, postoje slučajevi gdje se pojam mijenja predstavljanjem novog dokaza. Učitelj u dijalogu uvodi Cauchyjev dokaz Eulerove slutnje. U tome dokazu je poliedru uklonjena jedna strana a ostatak mreže strana se rastegne u ravnini. Taj dokaz je duboko promijenio ovaj pojam, budući da je preusmjerio proučavanje poliedara iz teorije tijela na topologiju. To je moguće jedino ako se o poliedru misli kao o mreži poligona (tj. kao o plohi). Nadalje, te dvije vrste utjecaja, novi objekti i novi dokazi, mogu biti međusobno povezani. Na primjer, kad Alfa predstavi “šuplju kocku” Delta se usprotivi da to ne može biti poliedar jer se na njoj ne može provesti Cauchyjev misaoni pokus. Taj dokaz je tako dojmljiv da zapravo postaje kriterij za pojam poliedra. Drugim riječima, Cauchyjev dokaz pruža razlog da se “šuplju kocku” ne prihvati u klasu poliedara. To je tek najjednostavniji primjer međudjelovanja između dokaza i protuprimjera, i Lakatosevo se podrobno istraživanje tih veza vrhuni u “metodi dokaza i opovrgavanja”. Taj obrazac započinje slutnjom teorema i jednim dokazom. Kad se pojavi protuprimjer, ispituje se dokaz da bi se našlo (možda implicitnu) pretpostavku odgovornu za pogrešku. Ta “pogrešna lema” (da upotrijebim Lakatosevu zavodeću terminologiju) potom je ugrađena u teorem kao uvjet. Ponovi li se dovoljno često taj obrazac, ti uvjeti se mogu akumulirati do točke u kojoj kolektivno definiraju jedan novi pojam.

Ti se obrasci pojmovnog rasta kroz međudjelovanje dokaza i opovrgavanja dodatno usložnjavaju uzme li se u obzir da pojmovi ne postoje u izolaciji. Promjene u značenju “poliedra” dovode do modifikacija povezanih termina poput “brid” ili “vrh”. Na primjer, prijelaz s teorije tijela na topologiju izazvan Cauchyjevim dokazom mijenja značenje “strane” na taj način da postaje smisleno govoriti o stranama koje se međusobno sijeku. Na toj točki Gama uvodi “ježa” (ili mali zvjezdasti dodekahedron) (DiO, str. 31., sl. 7.)

220px-De_divina_proportione_-_Icosaedron_Elevatum_Solidum

U tom smislu svaka modifikacija značenja (u ovom slučaju) “poliedra” proizvodi novi teorijski jezik. Svaki put kad se to dogodi problem o kome se radi mora biti preveden u taj novi jezik. To može biti izričito (kao u slučaju Epsilonovog dokaza Eulerove slutnje, koji zahtjeva da se geometrijski problem prevede u jezik vektorske algebre). No, u ostatku Dokaza i opovrgavanja jezični su prijelazi nezamjetni dok ih ne istakne Pi (koji uglavnom govori u odjeljku o oblikovanju pojmova).

Tako ono što započinje kao jedno matematičko istraživanje Eulerove formule postaje proučavanje umijeća matematičkog otkrića, koje nadalje postaje istraživanje rasta matematičkih pojmova. Drugim riječima, Dokazi i opovrgavanja postaju jedan ogled o dijalektici u gore opisanom smislu. Odnosno, oni oslikavaju neke od načina na koje matematičari mogu popravljati pojmove čak i dok se ti pojmovi koriste u argumentima. Oni su također i sami jedan primjer dijalektičkog razmatranja, budući da neki od njihovih središnjih pojmova mutiraju dok rasprava napreduje.

ulomak iz Brendan Larvor: Lakatos, An Introduction, 1998., str. 9.-14., preveo: ja

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s