To što se ovdje [kod pitagorovaca] zove ”broj” (arithmos) očito je ”brojani broj”, tj. ono brojano i brojivo, točnije raznolikost ili složevina diskretnog (ne kontinuiranog) tipa koja se može označiti pomoću jednog ili više brojeva. Ti se brojevi ne bi izražavali s ”dva, tri, četiri…” nego otprilike s ”dvojac, trojac, četverac…” (”par, trostruko, četverostruko…”) Ovdje se valja podsjetiti etimologije riječi ”arithmos”: ona dolazi od ”ararisko”, ”slažem”, te po svojem prvotnom smislu doista znači ”složevina”. Osjećaj za taj konkretan, složen karakter, za strukturiranost prvotnog broja, koji se još ne može primijeniti na sve i svakoga, već se drži određenih predmeta, živ je čak i kod Aristotela. U koliko je većoj mjeri to bio kod pitagorovaca, a još i kod Platona!
Polazeći od tog konkretnog, iskonskog, ako se hoće i primitivnog pojma broja, pitagorovsko shvaćanje postaje bitno razumljivijim. ”Broj” znači nešto poput određene strukture koja se može aritmetički opisati, a nalazi se u stvarima i tvori njihovu pravu bit. No ta ”struktura” po pitagorovskom shvaćanju nije složevina nečega drugog, doista konkretnog, nego je samostalan kostur stvari koji ih nosi i na neki ih način iznutra drži na okupu. Kako to treba pobliže zamišljati, može se objasniti na osnovi nauka o elementima u Platonovom dijalogu ”Timej”. Jer ovdje Platon kroz usta pitagorovca Timeja (bila to povijesna osoba ili ne) u nekoj mjeri i sam govori kao pitagorovac.
Atomi četiriju elemenata zamišljaju se kao pravilni mnogokuti, vatra kao četverokut, zrak kao osmerokut, voda kao dvadeseterokut, a zemlja kao kocka. Prva tri tijela, čije su plohe kongruentni jednakostranični trokuti, zamišljaju se kao sastavljena od tih ploha – dakle elementarna trodimenzionalna tijela kao sastavljena od čistih dvodimenzionalnih ploha. To je, naravno, bio kamen spoticanja za Aristotela, koji u svojem djelu o nebu (III 1) oštro kritizira Platonov nauk o elementima. Prava materija za njega je tjelesna i teška, tako da su puke plohe, kao čisto matematičke, za Aristotela apstraktne tvorevine, jer nisu nijedno od tog dvoga. Ali on nije razumio taj dubok Platonov nauk. Platon želi objasniti samu bit materije, a ne prikazati kako se veći dijelovi materije sastavljaju od malih, nedjeljivih djelića. Kod njega se pojam materije još nije zaledio u ”tvar” koja se dalje ne može razumjeti, kao što je to kod Aristotela. …
Oskar Becker (1889.-1964.)
Dakle, ono čime se barata i čime se prema strukturi cijele teorije mora baratati isključivo su plohe mnogokuta i sastavljenost mnogokuta od ploha, pri čemu su u svojoj relativnoj veličini važni i kutovi što ih plohe tvore među sobom. No debljina ploha strogo je jednaka nuli, što dokazuje čisto matematički karakter mnogokutnih atoma. Sami ti mnogokuti nisu materijalni ni u smislu Aristotelova pojma tvari ni u smislu novije klasične fizike, ali ipak konstituiraju donekle već formiranu materiju četiriju elemenata. Budući da je ovdje pak bitan broj elementarnih ploha, pred nama je u principu pitagorovski način promatranja, makar su ga Platon i matematičari njegove Akademije (vjerojatno ponajviše Teetet) dalje razvili.
Jedan od vodećih fizičara našeg vremena, W. Heisenberg, o Platonovim elementarnim trokutima kaže:
Sami trokuti nisu materija, oni su samo još matematički oblik […], i pitanje o onome zašto elementarnih čestica Platon svodi na matematiku. Elementarne čestice oblik koji im Platon pripisuje imaju zato što je to matematički najljepši i najjednostavniji oblik. Zadnji korijen pojava, prema tome, nije materija, nego matematički zakon, simetrija, matematički oblik.
I on svoju vlastitu metodu objašnjavanja u današnjoj teoriji elementarnih čestica podređuje toj istoj tendenciji prema simetriji, ma koliko se situacija u fizici izmijenila u više od dva tisućljeća koja su prošla od Platona. Planckovim je otkrićem elementarnih kvarkova u prirodnu znanost iznova stupila Platonova misao ”da je u temelju atomarne strukture materije jest naposljetku jedan matematički zakon, matematička simetrija.” I doista, Heisenberg osnovnu jednadžbu fizike elementarnih čestica koju je predložio karakterizira time što ona zadovoljava velik niz uvjeta simetrije. Naravno, pritom više nije riječ o slikovito-zornoj prostornoj simetriji Platonovih tijela (koja, međutim, također počiva na apstraktnoj grupi operacija pokrivanja koje su izvodive na tim tijelima), nego sada bitnu ulogu ima vrijeme. Ali i fizikalni zakoni koji su invarijantni s obzirom na mnogo obuhvatnije transformacijske grupe ”u temelju su svakako također samo apstraktne matematičke forme, no koje se odnose na prostor i vrijeme”.
Na ovom mjestu ne smije se propustiti uputiti na istraživanja Andreasa Speisera o matematičkoj analizi simetrije u ornamentici, arhitekturi i glazbi. Tako taj značajni filozofski matematičar kaže o glazbenoj kompoziciji:
Slično kao što za algebarsku jednadžbu postoji jedna metafizika, grupa čije poznavanje otkriva najskriveniju tajnu jednadžbi, tako i za umjetničko djelo postoji jedna metafizika, naime jedan simetrični sadržaj, poznavanje kojega dopušta da se komponira neodređen broj lijepih kompozicija, i istinski umjetnički domet jest nalaženje takvih konfiguracija. Zadaća znanosti bila bi da za pojedinačne kompozicije traži potpunu strukturu sa svim sponama […]. Može se pretpostaviti da postoje kompozicije, kao što su, na primjer, Bachove fuge, u kojima je svaki ton određen sponama, tako da kao jedini stupanj slobode preostaje tonalitet. Možda se dobro umjetničko djelo odlikuje minimalnim svojstvom: to je najjednostavnija kompozicija koja je moguća uz simetrični kompleks koji je u njemu sadržan.
Ako se još jednom vratimo Heisenbergu, kod njega ćemo naći sljedeće rečenice:
[…] temeljno značenje simetrije daje svakom pokušaju postavljanja teorije elementarnih čestica […] osobit karakter zatvorenosti. Nalaze se strukture koje su međusobno tako povezane i prepletene da se zapravo ni na kojem mjestu ne mogu poduzimati izmjene, a da se ne dovedu u pitanje sve sveze. To nas podsjeća na umjetničke ornamente arapskih džamija u kojima je istodobno realizirano toliko simetrija da se ne bi mogao izmijeniti nijedan list, a da se ne poremeti sveza cjeline […]
U posljednjoj je rečenici sadržana neposredna aluzija na analizu ornamenata koju je proveo Speiser, a gdje se među najzapletenijim i najrazrađenijim ornamentima spominju prozori nekih arapskih džamija.
Speiserov i Heisenbergov način razmišljanja zapravo je u cjelini pitagorovski. Jer pitagorovska osnovna misao da se bit stvari može svesti na ”broj” – na brojčano odredive zakone – znači da se zakoni postojećih stvari podudaraju s unutarnjom simetrijom ili ”harmonijom” brojčanih zakona. Tako se od pitagorovaca i pitagorizirajućeg Platona proteže dalek luk do današnjih istraživanja.
ulomak iz Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Demetra: Zagreb 1998., str. 12.-16., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
Knjigu se može kupiti kod nakladnika: Demetra
nagovor na filosofiju 