matematički platonizam? (ulomak iz Boran Berčić, Zašto 2+2=4?)

Prvo se pitanje odnosi na dvojbu realizam vs. antirealizam u matematici. U takvim sam dvojbama u pravilu na realističkoj strani: manjinsko vjerovanje može biti istinito, odnosno, ima nad-konvencionalne istine. No, netko može biti realist po pitanju postojanja npr. elektrona a ne biti realist npr. po pitanju postojanja hrvatskog naroda (ako sebi postavi Eutifronovu dilemu o njima). Tako da općenito vjerovanje da ima nad-konvencionalne istine (realizam) ne znači nužno vjerovanje u matematički realizam.

Pitanje je što je to što rečenicu »2+2=4« čini istinitim, a rečenicu »2+2=5« neistinitom? Dakle, mora biti negdje nešto što prvu rečenicu čini istinitom, a drugu neistinitom. Pitanje je: što je to? Dakle, pitanje je ontološke prirode, koja je to vrsta stvari koja rečenice matematike čini istinitima? … Koja je to vrsta činjenica u svijetu koja matematiku čini istinitom. Jesu li to fizički predmeti, mentalna stanja, konvencije, pravila igre, značenja riječi, način na koji vidimo svijet, zakoni logike, ili pak nešto drugo? (Berčić)

Kao što je slavno primijetio Heidegger, razlikovanje ontoloških načina na koje različite vrste bića jesu odvija se na vodilji vremena. Utoliko slijedi pitanje:

Kada je postala istina da 2+2=4? Pitanje zvuči čudno. Međutim, pomaže nam lakše odrediti o čemu ovise matematičke istine. Naime, ako je X to što sudove matematike čini istinitima, onda oni nisu mogli biti istiniti prije nego što je nastalo X. Dakle, pitanje treba shvatiti u sasvim doslovnom smislu. Prije nego što razmotrimo moguće odgovore, pogledajmo analogan slučaj iz fizike: Kada je postala istina da metali provode struju? Ili, da li je rečenica »Metali provode struju« mogla biti istinita i prije nego što su nastali metali? Ne, nije mogla! Dok nije bilo metala naprosto nije mogla biti istina da metali provode struju. Budući da ono što rečenicu »Metali provode struju« čini istinitom jest fizička činjenica da metali provode struju, ta rečenica nije mogla biti istinita prije nego što je nastalo ono što ju čini istinitom. Nije bila istinita, recimo, prije Velikog praska. (Berčić)

Ne čini mi se pogođen primjer da rečenica “Metali provode struju” nije mogla biti istinita prije nego je bilo metala. Na primjer, mnoga svojstva, pa vjerojatno i vodljivost, elementa s rednim brojem 115 bila su poznata i prije nego je dokazano postojanje tog elementa. Čak i da nikad nije dokazano postojanje tog elementa, i dalje bi vrijedilo (“kontra-faktički”) da bi taj element imao takva i takva svojstva (između kojih i vodljivost) kad bi postojao.

Ili, primjer iz šaha. Kada je postala istina da se lovac smije kretati samo dijagonalno? Onda kada su utemeljena pravila šaha. Prije toga to nije mogla biti istina naprosto zato što nije postojao šah. (Berčić)

To je fikcionalistički odgovor: kao što je istina da je duja baštoni slabija karta  od kralja baštoni, a ta istina je nastala s nastankom igre briškula, tako je i s matematičkim istinama. One spadaju u pravila igre matematike. Evo još četiri moguća odgovora.

Dakle, kada je postala istina da 2+2=4? Različite teorije daju različite odgovore. Fikcionalizam: nikada nije niti bila. Nominalizam: onda kada smo razvili jezik kojim smo to izrekli. Konceptualizam: onda kada nam se mišljenje razvilo do stupnja na kojem smo to mogli misliti. Fizikalizam: onda kada su nastali fizički predmeti. Platonizam: oduvijek je bila. (Berčić)

preuzmi (1)

Boran Berčić (1964.)

Odnosno, platonizam:  matematičke se istine ne mijenjaju u vremenu, pa nisu niti nastale.

O odgovoru na pitanje Kada je postala istina da 2+2=4?, ovisi i odgovor na pitanje što sud da 2+2=4 čini istinitim? Možemo se pitati slijedeće: Da li bi matematika bila istinita i kada ne bi bilo jezika kojim bi se mogla izreći? Ako bi i tada bila istinita, to bi značilo da matematičke istine ne ovise o našim definicijama, to jest, da nominalizam nije istinit. Da li bi matematika bila istinita i kada ne bismo mislili da jest? Ako bi bila, to bi značilo da konceptualizam nije istinit. Da li bi matematika bila istinita i kada ne bi bilo fizičkih predmeta? Ako bi bila, to bi značilo da fizikalizam nije istinit. Da li bi matematika bila istinita i kada ne bi postojala platonička matematička stvarnost? Ako bi bila, to bi značilo da platonizam nije istinit. (Berčić)

Detaljno i jasno obrazloženje navedenih pozicija nalazi se u članku. Meni izgleda da bi netko tko je realist u pogledu postojanja prirode, kako je opisuju prirodne znanosti, morao biti realist u pogledu matematičkih predmeta. Ako su vodik i helij međusobno različiti neovisno o tome što mi mislimo o njima (pa su zvijezde međusobno različite ovisno o tome koliko imaju helija ili vodika), i ako je ta razlika doista u broju protona (kao što nas uče prirodne znanosti), onda razlika između 1 i 2 (broja protona vodika i helija) prethodi ljudima (ljudskim igrama i konvencijama, ljudskom jeziku, ljudskim spoznajnim sposobnostima). Naravno, bez ljudskih pravila igre, jezika, spoznajnih sposobnosti, ta se razlika ne bi otkrila. Ali, sama razlika prethodi svome otkriću. To da matematičke istine prethode nama, s obzirom na gornje pitanje, čini neuvjerljivim antirealističke odgovore, dakle, fikcionalizam, nominalizam i konceptualizam. Od dvije preostale realističke pozicije, za mene fizikalizam, pak, pada na ovome: bavi li se matematika fizičkim svijetom? (ulomak iz Boran Berčić, Zašto 2+2=4?)

Dakle, preostaje platonizam? 🙂 Evo opširnije iznesene teze platonizma:

Istine matematike nisu ni o definicijama, niti o načinu na koji mi mislimo, a niti o iskustvenim činjenicama. Matematika opisuje vječnu i nepromjenjivu matematičku stvarnost koja postoji izvan vremena i izvan prostora. Ta specifično matematička stvarnost jest ono o čemu govore rečenice matematike i ono što ih čini istinitima. Matematički predmeti postoje izvan vremena i prostora, oni su idealni i apstraktni. Brojevi, skupovi, funkcije, trokuti, krugovi, integrali, pravci, matrice i drugi matematički predmeti postoje objektivno, neovisno o načinu na koji mislimo ili govorimo o njima. Isto tako, postoje neovisno o fizičkim predmetima, prostoru i vremenu. Oni su vječni i nepromjenjivi. Oni … svoje postojanje ne duguju ničem drugom. Drugim riječima, postoji specifično matematička stvarnost, različita od svega ostaloga što postoji u svijetu. … Matematičar intuicijom i radom otkriva tu stvarnost koja postoji prethodno i neovisno od njega i njegova otkrića. Otkrića u matematici u principu su iste vrste kao i otkrića u geografiji ili fizici. Pitagora je otkrio da a2+b2=c2 baš kao što je Kolumbo otkrio Ameriku. Otkrića u matematici nisu naše konstrukcije već doslovno otkrića. Matematička stvarnost postoji neovisno o nama i čeka da ju otkrijemo. (Berčić)

Meni se čini da se doista radi o otkrićima. Ali, mnoge zbunjuje ta ”odvojena” matematička stvarnost.

Osnovni problem s platonizmom u matematici, isto kao i s platonizmom općenito, jest u tome što nije jasno kakvi su ti navodni idealni matematički predmeti. Na koji način oni postoje? Gdje su? Lako je reći da nešto postoji izvan vremena i izvan prostora, papir trpi sve. Međutim, što to točno znači? Može li uopće nešto postojati, a da nije u vremenu i u prostoru? Gdje je onda? Nigdje? Razumijemo govor o postojanju fizičkih trodimenzionalnih predmeta koji imaju nekakvu dimenziju i koje se nalaze negdje. Međutim, kako shvatiti tvrdnju da nešto postoji izvan vremena i izvan prostora? Pazite, tu se ne radi o metafori. To se tvrdi u doslovnom smislu. Dakle, problem je ontološki: kako nešto takvo može postojati? (Berčić)

Ovo ”izvan prostora” zvuči čudno (kao da se radi o nekom drugom prostoru, izvan ovoga),  budući da je ”izvan” prostorna oznaka. Bolje bi možda bilo reći da matematička stvarnost implicitno postoji svugdje u prostoru i uvijek u vremenu. U svakom slučaju je neovisna o promjeni prostornog položaja i protoku vremena. Iz toga, pak, ovaj problem:

[K]ako možemo spoznati nešto takvo? Mi smo u vremenu i u prostoru, isto kao i znanje koje posjedujemo. Kako onda možemo biti u kontaktu s nečim što je navodno izvan vremena i izvan prostora? Rješenje što ga nudi Platon vrlo je poznato iz literature, ali doslovno shvaćeno potpuno je neprihvatljivo. Naime, u dijalogu Fedon  (75d i e) Platon tvrdi da duša prije nego što se inkarnira u tijelo boravi u svijetu ideja i da ih tamo spoznaje, pa ih se onda prisjeća (anamnezis) kada ih, inkarnirana u tijelo, prepozna u fizičkim predmetima. Doduše, ima neke plauzibilnosti u tvrdnji da u nesavršenim fizičkim predmetima na neki način prepoznajemo idealne obrasce, na primjer, geometrijske oblike. Ipak, time je Platon samo ukazao na problem, ali nije ni naznačio u kojem pravcu treba tražiti rješenje. Da bismo spoznali neki predmet, moramo s njim biti u nekoj vrsti uzročne veze: da bismo ga spoznali on mora nekako djelovati na nas (ili barem davati nekakav otpor kada mi djelujemo na njega). Sve stvari koje vidimo i čujemo nekako djeluju na nas. Kada ne bi nikako djelovale, ne bismo ih ni vidjeli niti čuli. Dakle, sve što znamo, znamo na temelju nekakve uzročne veze. Problem s platoničkim entitetima jest u tome što bi oni, čak i kada bi postojali, bili potpuno uzročno izolirani od svega ostaloga te stoga ne bi bilo načina na koji bismo ih mogli spoznati. Naprosto, nije jasno kako bi nešto što je izvan vremena i van prostora moglo djelovati na nešto što je u prostoru i u vremenu. Dakle, apsurdna posljedica platonizma jest da matematičko znanje nije moguće. (Berčić)

Ili je koncepcija uzročnosti sužena samo na eficijentni uzrok prekratka?

Možda najpoznatiji suvremeni zastupnik platonizma u matematici, James Robert Brown, uzročnu teoriju znanja odbacuje kao neistinitu. Pritom se oslanja na samo jedan primjer u kojem navodno postoji znanje o činjenici bez uzročne veze s tom činjenicom, to je poznati eksperiment Einsteina, Podolskog i Rosena. (Berčić)

(U sljedećem nastavku: EPR paradoks u izvedbi Jamesa Browna.  🙂 )

ulomci iz Boran Berčić, Zašto 2+2=4?, članak iz 2005.

Oglasi

Jedna misao o “matematički platonizam? (ulomak iz Boran Berčić, Zašto 2+2=4?)

  1. Minus za nominalizam – izgleda da rezultati neuro-znanosti indiciraju da matematika nije nešto kao jezik: “The researchers found that in the mathematicians only, listening to math-related statements activated a network involving bilateral intraparietal, dorsal prefrontal, and inferior temporal regions of the brain. This circuitry is usually not associated with areas involved in language processing and semantics, which were activated in both mathematicians and nonmathematicians when they were presented with the nonmathematical statements.” http://www.scientificamerican.com/article/how-does-a-mathematician-s-brain-differ-from-that-of-a-mere-mortal/

    Sviđa mi se

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava / Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava / Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava / Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava / Izmijeni )

Spajanje na %s